与えられた関数の $n$ 次導関数を求める問題です。 (1) $e^{3x-1}$ (2) $\sin(2x+3)$

1. 問題の内容

与えられた関数の $n$ 次導関数を求める問題です。

(1) $e^{3x-1}$

(2) $\sin(2x+3)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{3x-1}$ の場合：

まず、いくつかの導関数を計算してパターンを見つけます。

$f'(x) = 3e^{3x-1}$

$f''(x) = 3^2e^{3x-1}$

$f'''(x) = 3^3e^{3x-1}$

このように、$n$ 次導関数は $3^n e^{3x-1}$ と推測できます。

数学的帰納法を使って証明することもできますが、ここでは省略します。

(2) $g(x) = \sin(2x+3)$ の場合：

これも同様に、いくつかの導関数を計算してパターンを見つけます。

$g'(x) = 2\cos(2x+3) = 2\sin(2x+3+\frac{\pi}{2})$

$g''(x) = -2^2\sin(2x+3) = 2^2\sin(2x+3+\pi)$

$g'''(x) = -2^3\cos(2x+3) = 2^3\sin(2x+3+\frac{3\pi}{2})$

一般的に、

$g^{(n)}(x) = 2^n\sin(2x+3 + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $e^{3x-1}$ の $n$ 次導関数：

$3^n e^{3x-1}$

(2) $\sin(2x+3)$ の $n$ 次導関数：

$2^n\sin(2x+3 + \frac{n\pi}{2})$