与えられた積分 $\int \frac{4x}{x^2+1} dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{4x}{x^2+1} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

与えられた積分を以下のように変形して計算します。

まず、積分記号の外に定数を出します。

$\int \frac{4x}{x^2+1} dx = 4 \int \frac{x}{x^2+1} dx$

次に、$x^2+1 = u$ と置換します。

すると、$\frac{du}{dx} = 2x$ となり、$dx = \frac{du}{2x}$ となります。

置換積分を行うと、

$4 \int \frac{x}{u} \frac{du}{2x} = 2 \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C$ なので、

$2 \int \frac{1}{u} du = 2 \log |u| + C$

最後に、$u = x^2+1$ を代入します。

$2 \log |x^2+1| + C$

$x^2+1$ は常に正なので、$2 \log (x^2+1) + C$ となります。

3. 最終的な答え

$2 \log (x^2+1) + C$