次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{(2x-\pi)^2}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{(2x-\pi)^2}$

2. 解き方の手順

まず、$x - \frac{\pi}{2} = t$ とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となります。

$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{(2x-\pi)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1-\sin(t+\frac{\pi}{2})}{(2(t+\frac{\pi}{2})-\pi)^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos t}{(2t)^2}$

$\cos t = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ より、

$\lim_{t \to 0} \frac{1-\cos t}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1-(1 - 2\sin^2(\frac{t}{2}))}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{t}{2})}{4t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2} \frac{\sin^2(\frac{t}{2})}{t^2}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}} = 1$ であることを利用すると、

$\lim_{t \to 0} \frac{1}{2} \frac{\sin^2(\frac{t}{2})}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{2} \frac{\sin^2(\frac{t}{2})}{4(\frac{t}{2})^2} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{8} (\frac{\sin(\frac{t}{2})}{\frac{t}{2}})^2 = \frac{1}{8} (1)^2 = \frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8}$