問題は、与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を「ライプニッツの公式」を用いて漸化式の形で表し、さらにその第 $n$ 次微分係数 $f^{(n)}(0)$ を求めるというものです。 具体的な関数は以下の2つです。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を「ライプニッツの公式」を用いて漸化式の形で表し、さらにその第 $n$ 次微分係数 $f^{(n)}(0)$ を求めるというものです。 具体的な関数は以下の2つです。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合

この関数については、ライプニッツの公式を直接適用するより、微分を繰り返して漸化式を見つける方が簡単です。

$f(x) = e^{x^2}$

$f'(x) = 2xe^{x^2} = 2xf(x)$

$f''(x) = 2f(x) + 2x f'(x) = 2f(x) + 4x^2 f(x) = (2+4x^2)f(x)$

$f^{(n+1)}(x)$ を $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n-1)}(x)$ などで表す漸化式を求めます。

$f'(x) = 2x f(x)$ をライプニッツの公式を用いて $n$ 回微分すると、

$(f'(x))^{(n)} = (2x f(x))^{(n)}$

$f^{(n+1)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2x)^{(k)} (f(x))^{(n-k)}$

$(2x)^{(0)} = 2x, (2x)^{(1)} = 2, (2x)^{(k)} = 0 (k \geq 2)$ であるから

$f^{(n+1)}(x) = \binom{n}{0} (2x) f^{(n)}(x) + \binom{n}{1} (2) f^{(n-1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

したがって、$f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

次に、$f^{(n)}(0)$ を求めます。

$f^{(n+1)}(0) = 2(0) f^{(n)}(0) + 2n f^{(n-1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

したがって、$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

$f(0) = e^0 = 1$, $f'(0) = 2(0)e^0 = 0$ です。

$n$が奇数のとき $f^{(n)}(0) = 0$.

$n=2k$のとき、$f^{(2k)}(0) = 2(2k-1)f^{(2k-2)}(0) = 2(2k-1) 2(2k-3) f^{(2k-4)}(0) = \cdots$

$f^{(2k)}(0) = 2^k (2k-1)(2k-3) \cdots 1 f(0) = 2^k (2k-1)!!$

ただし、$(-1)!!=1$とします。

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の場合

$f(x) = \frac{x}{1+x^2} = \frac{x}{(x+i)(x-i)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-i} + \frac{1}{x+i})$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} ( (-1)^n n! (x-i)^{-n-1} + (-1)^n n! (x+i)^{-n-1} )$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-i)^{n+1}} + \frac{1}{(x+i)^{n+1}})$

$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(-i)^{n+1}} + \frac{1}{(i)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2} (i^{n+1} + (-i)^{n+1})$

$i^{n+1} + (-i)^{n+1} = i^{n+1} + (-1)^{n+1} i^{n+1} = (1+(-1)^{n+1})i^{n+1}$

したがって、$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2} (1+(-1)^{n+1}) i^{n+1}$

もし $n$ が偶数なら、$n=2k$ なので、

$f^{(2k)}(0) = \frac{(-1)^{2k} (2k)!}{2} (1+(-1)^{2k+1}) i^{2k+1} = 0$

もし $n$ が奇数なら、$n=2k+1$ なので、

$f^{(2k+1)}(0) = \frac{(-1)^{2k+1} (2k+1)!}{2} (1+(-1)^{2k+2}) i^{2k+2} = \frac{(-1)^{2k+1} (2k+1)!}{2} (2) i^{2k+2}$

$f^{(2k+1)}(0) = (-1)^{2k+1} (2k+1)! i^{2k+2} = (-1)^{2k+1} (2k+1)! (i^2)^{k+1} = (-1)^{2k+1} (2k+1)! (-1)^{k+1}$

$f^{(2k+1)}(0) = (-1)^{3k+2} (2k+1)! = (-1)^{k} (2k+1)!$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合

$f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

$n$が奇数のとき $f^{(n)}(0) = 0$

$n=2k$のとき、$f^{(2k)}(0) = 2^k (2k-1)!!$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の場合

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-i)^{n+1}} + \frac{1}{(x+i)^{n+1}})$

$n$が偶数のとき $f^{(n)}(0) = 0$

$n=2k+1$のとき $f^{(n)}(0) = (-1)^{k} (2k+1)!$