(1) $a>1$ を満たす定数 $a$ について、関数 $y = a^{x-1}$ のグラフの形を答え、関数 $y = \frac{1}{a^x}$ のグラフの形が何に関して対称であるかを答える。 さらに、右のグラフがどの関数のグラフであるか、点Aの座標を答える。 (2) 関数 $f(x) = \log_2 x$, $g(x) = \log_2 \frac{x}{4}$ について、 (i) $g(x)$ の真数が正となる $x$ の範囲を答える。 (ii) $y = g(x)$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動すると $y = f(x)$ のグラフと一致するかを答える。 また、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標を答える。 $0 < p < q < 1 + \log_2 4$ を満たす定数 $p, q$ について、$A = f(p), B = f(q), C = g(p), D = g(q)$ とおくとき、A, B, C, D の大小関係を答える。

1. 問題の内容

(1) $a>1$ を満たす定数 $a$ について、関数 $y = a^{x-1}$ のグラフの形を答え、関数 $y = \frac{1}{a^x}$ のグラフの形が何に関して対称であるかを答える。

さらに、右のグラフがどの関数のグラフであるか、点Aの座標を答える。

(2) 関数 $f(x) = \log_2 x$, $g(x) = \log_2 \frac{x}{4}$ について、

(i) $g(x)$ の真数が正となる $x$ の範囲を答える。

(ii) $y = g(x)$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動すると $y = f(x)$ のグラフと一致するかを答える。

また、$y = f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフの共有点の $x$ 座標を答える。

$0 < p < q < 1 + \log_2 4$ を満たす定数 $p, q$ について、$A = f(p), B = f(q), C = g(p), D = g(q)$ とおくとき、A, B, C, D の大小関係を答える。

2. 解き方の手順

(1) (i) $a>1$ より、$y = a^{x-1}$ のグラフは、増加関数であるから、グラフは⑥である。

$y = \frac{1}{a^x} = a^{-x}$ であるから、$y = a^{x}$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したものである。

(ii) 右のグラフは、$y = a^{x-1}$ のグラフであり、点Aはグラフ上の点で、$y$ 座標は $a$ である。

したがって、$a = a^{x-1}$ より、$x-1=1$ となるから、$x=2$ である。

したがって、点Aの座標は $(2, a)$ である。

(2) (i) $g(x) = \log_2 \frac{x}{4}$ より、真数条件から $\frac{x}{4} > 0$ であるから、$x>0$ である。

(ii) $g(x) = \log_2 \frac{x}{4} = \log_2 x - \log_2 4 = \log_2 x - 2$ である。

したがって、$y = g(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると、$y = f(x)$ のグラフと一致する。

$f(x) = g(x)$ となるのは、$\log_2 x = \log_2 \frac{x}{4}$ より、$x = \frac{x}{4}$ であるから、$x=0$ である。

しかし、$x>0$ であるから、共有点は存在しない。

$0 < p < q < 1 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$ である。

$A = f(p) = \log_2 p$, $B = f(q) = \log_2 q$

$C = g(p) = \log_2 \frac{p}{4} = \log_2 p - 2$, $D = g(q) = \log_2 \frac{q}{4} = \log_2 q - 2$

$0 < p < q < 3$ より、$f(x) = \log_2 x$ は増加関数であるから、$A < B$ である。

$C = A - 2$, $D = B - 2$ であるから、$C < A < B$ かつ $C < D < B$ である。

$A, B, C, D$ の大小関係を比較する。

$p < 1$ のとき $\log_2 p < 0$ であり、$q < 1$ のとき $\log_2 q < 0$ である。

$p>1$ のとき $\log_2 p > 0$ であり、$q>1$ のとき $\log_2 q > 0$ である。

$p, q$ の値によって大小関係が変わる。

$0 < p < q < 3$ より、$p/4 < q/4 < 3/4 < 1$ であるから、$C = \log_2(p/4) < 0$ かつ $D = \log_2(q/4) < 0$ である。

$1 < p, q < 3$ のとき $A > 0$, $B > 0$ である。

$0 < p < q < 1$ のとき $A < 0$, $B < 0$ である。

$p < q$ より $f(p) < f(q)$ かつ $g(p) < g(q)$ であるから、$A < B$ かつ $C < D$ である。

$p, q$ が $1$ より小さいとき $A, B < 0$ であり、$C, D < 0$ である。

$C < A < B$ かつ $C < D < B$ より、$C < A < D < B$ または $C < D < A < B$ となる。

$p, q$ が $1$ より大きいとき $A, B > 0$ であり、$C, D < 0$ である。

$C < D < A < B$ が成り立つ。

したがって、常に $C < D < A < B$ となる。

3. 最終的な答え

(1) (i) ⑥, $y$ 軸

(ii) $y = a^{x-1}$, $(2, a)$

(2) (i) $x > 0$

(ii) $2$, $0$

$C < D < A < B$