与えられた関数 $f(x)$ に対して、$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ をライプニッツの公式を用いて漸化式の形で表し、さらに $f^{(n)}(0)$ を求める。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

## 数学の問題

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、$n$次導関数 $f^{(n)}(x)$ をライプニッツの公式を用いて漸化式の形で表し、さらに $f^{(n)}(0)$ を求める。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

**(1) $f(x) = e^{x^2}$**

ライプニッツの公式は直接的には適用しにくいので、まずはいくつか微分して規則性を見つける。

$f'(x) = 2xe^{x^2} = 2xf(x)$

両辺を微分する。

$f''(x) = 2f(x) + 2xf'(x)$

さらに微分する。

$f'''(x) = 2f'(x) + 2f'(x) + 2xf''(x) = 4f'(x) + 2xf''(x)$

一般的に、$f^{(n)}(x)$を求めるために、$f'(x) = 2xf(x)$を$n$回微分することを考える。

ライプニッツの公式を適用すると:

$f^{(n+1)}(x) = (2xf(x))^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (2x)^{(k)} (f(x))^{(n-k)}$

ここで、$(2x)^{(0)} = 2x$ 、$(2x)^{(1)} = 2$ 、$(2x)^{(k)} = 0$ for $k \ge 2$。

したがって、

$f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + n \cdot 2 f^{(n-1)}(x)$

よって、漸化式は

$f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

$f^{(n)}(0)$ を求めるために、$x=0$ を代入すると:

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

初期条件: $f(0) = e^{0} = 1$, $f'(0) = 2 \cdot 0 \cdot e^{0} = 0$

$f^{(n)}(0)$ は、$n$が奇数のとき0になり、偶数のとき0ではない。

$n = 2m$ の場合:

$f^{(2m)}(0)$ を求めるためには、$f^{(0)}(0) = 1$ から漸化式を繰り返し適用する。

$f^{(2)}(0) = 2 \cdot 0 \cdot f^{(0)}(0) + 2 \cdot 0 \cdot f^{(0)}(0) = 2 \cdot 0 = 2 \cdot 0! = 2$

$f^{(4)}(0) = 2 \cdot 3 \cdot f^{(2)}(0) = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4!! * 2$

$f^{(6)}(0) = 2 \cdot 5 \cdot f^{(4)}(0) = 2 \cdot 5 \cdot 12 = 120= 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 * 2$

$f^{(2m)}(0) = 2^{m} \prod_{k=1}^m (2k-1)$

$f^{(n)}(0)$ = 0, if $n$ is odd

$f^{(n)}(0) = (n-1)!! * 2^{n/2}$ if $n$ is even

**(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$**

$f(x) = \frac{x}{1+x^2}$を部分分数分解すると:

$f(x) = \frac{1}{2i} (\frac{1}{x-i} - \frac{1}{x+i})$

ここで、$i$ は虚数単位である。

$(\frac{1}{x-a})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$ を利用すると、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2i} (\frac{(-1)^n n!}{(x-i)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+i)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2i} (\frac{1}{(x-i)^{n+1}} - \frac{1}{(x+i)^{n+1}})$

$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2i} (\frac{1}{(-i)^{n+1}} - \frac{1}{(i)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2i} ((-1)^{n+1} i^{-(n+1)} - i^{-(n+1)})$

$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2i i^{n+1}} ((-1)^{n+1} - 1) = \frac{(-1)^n n!}{2 i^{n+2}} ((-1)^{n+1} - 1)$

$n$が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$.

$n$が奇数のとき、$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2 i^{n+2}} (-2) = \frac{(-1)^{n+1} n!}{i^{n+2}}$.

$n = 2k+1$ とおくと:

$f^{(2k+1)}(0) = \frac{(-1)^{2k+2} (2k+1)!}{i^{2k+3}} = \frac{(2k+1)!}{i^{2k+3}} = \frac{(2k+1)!}{i^3} = \frac{(2k+1)!}{-i} = (2k+1)! i$

虚部を取り出すと、$f^{(2k+1)}(0) = (2k+1)!$

よって、$f^{(n)}(0) = 0$, if $n$ is even. $f^{(n)}(0) = (-1)^{(n-1)/2}n!$, if $n$ is odd.

3. 最終的な答え

**(1) $f(x) = e^{x^2}$**

漸化式: $f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

$f^{(n)}(0) = 0$, if $n$ is odd

$f^{(n)}(0) = (n-1)!! * 2^{n/2}$ if $n$ is even

**(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$**

$f^{(n)}(0) = 0$, if $n$ is even.

$f^{(n)}(0) = (-1)^{(n-1)/2} n!$, if $n$ is odd.