関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2}\cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、 (1) $\cos 2\theta = $ ア $-$ イ $\sin^2 \theta$, $\sin 3\theta =$ ウ $\sin \theta -$ エ $\sin^3 \theta$ であるから、$t = \sin \theta$ とおいて、$f(\theta)$ を $t$ を用いて表すと、$f(\theta) = $ オ $t^3 -$ カ $t^2 -$ キ $t +$ ク となる。 また、$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$t$ の値の範囲は ケコ $\le t \le$ サ である。 したがって、$f(\theta)$ は $\theta = \frac{\text{シ}}{\text{ス}}\pi$ または $\theta = \frac{\text{セソ}}{\text{タ}}\pi$ のとき、最大値 チツ をとり、$\theta = \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}\pi$ のとき、最小値 ニ をとる。 (2) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲は $\frac{\text{ヌネ}}{\text{ノ}}$ または ハヒ $< k <$ フ である。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2}\cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、

(1) $\cos 2\theta =$ ア $-$ イ $\sin^2 \theta$, $\sin 3\theta =$ ウ $\sin \theta -$ エ $\sin^3 \theta$ であるから、$t = \sin \theta$ とおいて、$f(\theta)$ を $t$ を用いて表すと、$f(\theta) =$ オ $t^3 -$ カ $t^2 -$ キ $t +$ ク となる。

また、$0 \le \theta < 2\pi$ であるから、$t$ の値の範囲は ケコ $\le t \le$ サ である。

したがって、$f(\theta)$ は $\theta = \frac{\text{シ}}{\text{ス}}\pi$ または $\theta = \frac{\text{セソ}}{\text{タ}}\pi$ のとき、最大値 チツ をとり、$\theta = \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}\pi$ のとき、最小値 ニ をとる。

(2) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲は $\frac{\text{ヌネ}}{\text{ノ}}$ または ハヒ $< k <$ フ である。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ なので、ア=1、イ=2。

$\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ なので、ウ=3、エ=4。

$f(\theta) = -(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) + \frac{5}{2}(1 - 2\sin^2 \theta) - 5\sin \theta + \frac{1}{2} = 4\sin^3 \theta - 5\sin^2 \theta - 8\sin \theta + 3$

$t = \sin \theta$ とおくと、$f(\theta) = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3$ なので、オ=4、カ=5、キ=8、ク=3。

$0 \le \theta < 2\pi$ より $-1 \le \sin \theta \le 1$ なので、$-1 \le t \le 1$ 。したがって、ケコ=-1、サ=1。

$f'(t) = 12t^2 - 10t - 8 = 2(6t^2 - 5t - 4) = 2(2t+1)(3t-4)$

$f'(t) = 0$ となるのは、$t = -\frac{1}{2}$ または $t = \frac{4}{3}$

$-1 \le t \le 1$ なので、$t = -\frac{1}{2}$ のみ考慮する。

$t = -1$ のとき、$f(t) = 4(-1)^3 - 5(-1)^2 - 8(-1) + 3 = -4 - 5 + 8 + 3 = 2$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$f(t) = 4(-\frac{1}{8}) - 5(\frac{1}{4}) - 8(-\frac{1}{2}) + 3 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{4} + 4 + 3 = \frac{-2 - 5 + 16 + 12}{4} = \frac{21}{4}$

$t = 1$ のとき、$f(t) = 4(1)^3 - 5(1)^2 - 8(1) + 3 = 4 - 5 - 8 + 3 = -6$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ 。したがって、シ=7、ス=6、セソ=11、タ=6。

最大値は$\frac{21}{4}$ なので、チツ=21、テ=4。

$t = 1$ のとき、$\sin \theta = 1$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2}$ 。したがって、ト=1、ナ=2。

最小値は$-6$ なので、ニ=-6。

(2)

$f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解をもつためには、$f(t) = k$ が $-1 \le t \le 1$ の範囲で、実数解を２つ持てば良い。$t = \sin(\theta)$より$\theta$の値が2個決まる。$\sin\theta = \pm1$のときは、$\theta$が1つに決まることに注意する。

$t=1$のとき$\theta = \pi/2$, $t=-1$のとき$\theta=3\pi/2$, $t=-\frac{1}{2}$のとき、$\theta = 7\pi/6, 11\pi/6$

$f(t) = k$について、グラフを考える。$t = \sin\theta$は最大１つの解に対応する。

$\theta$ が2個になるのは、$-1 < t < 1$のとき

$f(t) = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3 = k$

$f'(t) = 12t^2 - 10t - 8 = 0 \implies t = -\frac{1}{2}, \frac{4}{3}$.

$f(-\frac{1}{2}) = \frac{21}{4}, f(1) = -6, f(-1) = 2$.

$k = 21/4$ の時、$-\frac{1}{2}$なので$\theta$は2つ。

$k = 2$ の時、$-1$なので$\theta$は1つ。

$k=-6$の時、$1$なので$\theta$は1つ。

$y = k$ と $y = f(t)$ の交点の数を考える。$t \in [-1, 1]$

$k = -6$だと、$t = 1$の解を持つ。しかし$\theta$は1つ。

$k = 21/4$だと、$t = -1/2$の解を持つ。しかし$\theta$は2つ。

$k = 2$だと、$t = -1$の解を持つ。しかし$\theta$は1つ。

関数$f(\theta)$で考えた時、$t$が２つ存在するとき、異なる$\theta$が4つ存在しうる（それぞれ$\sin\theta$に対応する$\theta$の値が２つずつ存在するため)。

$t=1$と$t=-1$以外の$t$に対し、$\theta$は2個存在する。$t = \pm1$の時、$\theta$は１つ。

$f(\theta)$のグラフについて、異なる2個の実数解を持つ条件は、

-6 $< k < 2$

ヌネ=-6、ノ=1、ハヒ=-6、フ=2。

3. 最終的な答え

ア=1, イ=2, ウ=3, エ=4, オ=4, カ=5, キ=8, ク=3, ケコ=-1, サ=1, シ=7, ス=6, セソ=11, タ=6, チツ=21, テ=4, ト=1, ナ=2, ニ=-6, ヌネ=-6, ノ=1, ハヒ=-6, フ=2