次の極限を求めます。 $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1}$

2. 解き方の手順

$x-1 = t$ とおくと、$x = t+1$ であり、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ である。

したがって、

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \pi x}{x-1} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin (\pi(t+1))}{t}$

$= \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sin (\pi t + \pi)}{t}$

$= \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{-\sin (\pi t)}{t}$

$= \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{-\sin (\pi t)}{t} \cdot \frac{\pi}{\pi}$

$= \displaystyle -\pi \lim_{t \to 0} \frac{\sin (\pi t)}{\pi t}$

ここで、$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ であるから、

$\displaystyle -\pi \lim_{t \to 0} \frac{\sin (\pi t)}{\pi t} = -\pi \cdot 1 = -\pi$

3. 最終的な答え

$-\pi$