次の極限を求めます。 $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{x^2+1})$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{x^2+1})$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式の共役な式を掛けます。つまり、$\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+1}$を分子と分母に掛けます。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{x^2+1}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+1}}$

分子を展開すると、次のようになります。

$(x^2+3x+1) - (x^2+1) = 3x$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{x^2+1}}$

次に、分子と分母を$x$で割ります。分母では、$x = \sqrt{x^2}$として根号の中に入れます。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

$x\to\infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、極限は次のようになります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{3}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0}} = \frac{3}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$