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関数 $f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2}\cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2}$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、 (1) $\cos 2\theta$ と $\sin 3\theta$ をそれぞれ $\sin \theta$ で表し、$t = \sin \theta$ とおいて $f(\theta)$ を $t$ を用いて表す。また、$\theta$ の範囲から $t$ の範囲を求める。 (2) $f(\theta)$ の最大値、最小値、およびそのときの $\theta$ を求める。 (3) 方程式 $f(\theta) = k$ が $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で異なる2個の実数解を持つときの定数 $k$ の範囲を求める。

解析学三角関数最大値最小値方程式微分解の個数
2025/6/12

1. 問題の内容

関数 f(θ)=−sin⁡3θ+52cos⁡2θ−5sin⁡θ+12f(\theta) = -\sin 3\theta + \frac{5}{2}\cos 2\theta - 5\sin \theta + \frac{1}{2} (0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi) について、
(1) cos⁡2θ\cos 2\theta と sin⁡3θ\sin 3\theta をそれぞれ sin⁡θ\sin \theta で表し、t=sin⁡θt = \sin \theta とおいて f(θ)f(\theta) を tt を用いて表す。また、θ\theta の範囲から tt の範囲を求める。
(2) f(θ)f(\theta) の最大値、最小値、およびそのときの θ\theta を求める。
(3) 方程式 f(θ)=kf(\theta) = k が 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi の範囲で異なる2個の実数解を持つときの定数 kk の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)
cos⁡2θ=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta
sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta
t=sin⁡θt = \sin \theta とおくと、
f(θ)=−(3sin⁡θ−4sin⁡3θ)+52(1−2sin⁡2θ)−5sin⁡θ+12f(\theta) = -(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) + \frac{5}{2}(1 - 2\sin^2 \theta) - 5\sin \theta + \frac{1}{2}
=−3t+4t3+52−5t2−5t+12= -3t + 4t^3 + \frac{5}{2} - 5t^2 - 5t + \frac{1}{2}
=4t3−5t2−8t+3= 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より −1≤sin⁡θ≤1-1 \le \sin \theta \le 1 であるから、 −1≤t≤1-1 \le t \le 1
(2)
f(θ)=4t3−5t2−8t+3f(\theta) = 4t^3 - 5t^2 - 8t + 3
f′(θ)=12t2−10t−8=2(6t2−5t−4)=2(2t+1)(3t−4)f'(\theta) = 12t^2 - 10t - 8 = 2(6t^2 - 5t - 4) = 2(2t+1)(3t-4)
f′(θ)=0f'(\theta) = 0 とすると、 t=−12,43t = -\frac{1}{2}, \frac{4}{3}
−1≤t≤1-1 \le t \le 1 より t=−12t = -\frac{1}{2}
t=−1t = -1 のとき f(θ)=4(−1)3−5(−1)2−8(−1)+3=−4−5+8+3=2f(\theta) = 4(-1)^3 - 5(-1)^2 - 8(-1) + 3 = -4 - 5 + 8 + 3 = 2
t=−12t = -\frac{1}{2} のとき f(θ)=4(−12)3−5(−12)2−8(−12)+3=−12−54+4+3=−2−5+16+124=214f(\theta) = 4(-\frac{1}{2})^3 - 5(-\frac{1}{2})^2 - 8(-\frac{1}{2}) + 3 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{4} + 4 + 3 = \frac{-2-5+16+12}{4} = \frac{21}{4}
t=1t = 1 のとき f(θ)=4(1)3−5(1)2−8(1)+3=4−5−8+3=−6f(\theta) = 4(1)^3 - 5(1)^2 - 8(1) + 3 = 4 - 5 - 8 + 3 = -6
よって、最大値は t=−12t = -\frac{1}{2} のとき f(θ)=214f(\theta) = \frac{21}{4}
最小値は t=1t = 1 のとき f(θ)=−6f(\theta) = -6
t=sin⁡θ=−12t = \sin \theta = -\frac{1}{2} より θ=76π,116π\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi
t=sin⁡θ=1t = \sin \theta = 1 より θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}
(3)
f(θ)=kf(\theta) = k が異なる2つの実数解をもつのは、グラフから
2<k<2142 < k < \frac{21}{4} または k=−6k = -6

3. 最終的な答え

(1) ア：1, イ：2, ウ：3, エ：4, オ：4, カ：5, キ：8, ク：3, ケコ：-1, サ：1
(2) シ：7/6, ス：11/6, セソ：1/2, タ：π, チツ：21/4, テ：π/2, ナニ：-6
(3) ヌネ：-6, ハヒ：2, フ：21/4

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