与えられた積分 $\int \frac{3x^2 + x + 10}{(x-2)(x^2+4)} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{3x^2 + x + 10}{(x-2)(x^2+4)} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{3x^2 + x + 10}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+4}$

両辺に $(x-2)(x^2+4)$ を掛けると、

$3x^2 + x + 10 = A(x^2+4) + (Bx+C)(x-2)$

$3x^2 + x + 10 = Ax^2 + 4A + Bx^2 - 2Bx + Cx - 2C$

$3x^2 + x + 10 = (A+B)x^2 + (-2B+C)x + (4A-2C)$

係数を比較すると、

$A+B = 3$

$-2B+C = 1$

$4A-2C = 10$

これらの連立方程式を解く。

第3式を2で割ると、$2A - C = 5$, つまり $C = 2A - 5$.

これを第2式に代入すると、 $-2B + 2A - 5 = 1$, つまり $2A - 2B = 6$, よって $A-B = 3$.

$A+B=3$と$A-B=3$を足すと、$2A=6$ なので $A=3$.

$A+B=3$に代入すると、$3+B=3$, つまり $B=0$.

$C = 2A - 5 = 2(3) - 5 = 1$.

よって、$A=3, B=0, C=1$.

したがって、

$\frac{3x^2 + x + 10}{(x-2)(x^2+4)} = \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x^2+4}$

積分を計算すると、

$\int \frac{3x^2 + x + 10}{(x-2)(x^2+4)} dx = \int \frac{3}{x-2} dx + \int \frac{1}{x^2+4} dx$

$= 3 \int \frac{1}{x-2} dx + \int \frac{1}{x^2+4} dx$

$= 3 \ln|x-2| + \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$3 \ln|x-2| + \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$