与えられた積分の問題を解きます。問題は以下の通りです。 $\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。問題は以下の通りです。

$\int \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、半角の公式を用いて$\sin x$と$\cos x$を書き換えます。

$\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$

$\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$

これらの式を積分に代入します。

$\int \frac{1 + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{1 + 2\cos^2\frac{x}{2} - 1} dx = \int \frac{1 + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} dx$

積分を2つに分けます。

$\int \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} dx + \int \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} dx = \frac{1}{2} \int \sec^2\frac{x}{2} dx + \int \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} dx$

$\int \sec^2\frac{x}{2} dx = 2\tan\frac{x}{2} + C_1$

$\int \frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}} dx = \int \tan\frac{x}{2} dx = -2\ln|\cos\frac{x}{2}| + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int \sec^2\frac{x}{2} dx + \int \tan\frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2\tan\frac{x}{2} - 2\ln|\cos\frac{x}{2}| + C = \tan\frac{x}{2} - 2\ln|\cos\frac{x}{2}| + C$

3. 最終的な答え

$\tan\frac{x}{2} - 2\ln|\cos\frac{x}{2}| + C$