## 問題の内容

## 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x$ について、以下の問いに答えます。

(1) 放物線と直線 $y = kx$ の共有点の座標を求めます。

(2) 放物線と直線 $y = 0$ で囲まれた部分 $D$ の面積を求めます。

(3) $D$ の面積が直線 $y = kx$ で 2 等分されるような実数 $k$ の値を求めます。

## 解き方の手順

### (1) 放物線と直線 $y = kx$ の共有点の座標

放物線 $y = -x^2 + 2x$ と直線 $y = kx$ の共有点の $x$ 座標は、2 つの式を連立して得られる方程式の解です。

$-x^2 + 2x = kx$

これを整理すると、

$x^2 + (k-2)x = 0$

$x(x + k - 2) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = 2 - k$ です。

$x=0$ のとき、$y = k \cdot 0 = 0$。

$x = 2 - k$ のとき、$y = k(2-k) = 2k - k^2$。

よって、共有点の座標は $(0, 0)$ と $(2-k, 2k-k^2)$ です。

### (2) 放物線と直線 $y = 0$ で囲まれた部分 $D$ の面積

放物線 $y = -x^2 + 2x$ と直線 $y = 0$ の交点の $x$ 座標は、$y = -x^2 + 2x = 0$ を解いて得られます。

$-x^2 + 2x = 0$

$x(-x + 2) = 0$

$x = 0$ または $x = 2$

したがって、放物線と $x$ 軸で囲まれた領域は $0 \le x \le 2$ です。この領域の面積は、積分によって計算できます。

$D = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx$

$D = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_{0}^{2}$

$D = -\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - (0)$

$D = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{-8 + 12}{3} = \frac{4}{3}$

### (3) $D$ の面積が直線 $y = kx$ で 2 等分されるような実数 $k$ の値

領域 $D$ の面積は $\frac{4}{3}$ であり、これが直線 $y = kx$ で 2 等分されるということは、領域の面積が $\frac{2}{3}$ となるということです。つまり、$\int_{0}^{2-k} (-x^2 + 2x - kx)dx = \frac{2}{3}$となる $k$ を求める。

$\int_{0}^{2-k} (-x^2 + (2-k)x) dx = \frac{2}{3}$

$\left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{2-k}{2}x^2 \right]_{0}^{2-k} = \frac{2}{3}$

$-\frac{1}{3}(2-k)^3 + \frac{2-k}{2}(2-k)^2 = \frac{2}{3}$

$-\frac{1}{3}(2-k)^3 + \frac{1}{2}(2-k)^3 = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{6}(2-k)^3 = \frac{2}{3}$

$(2-k)^3 = 4$

$2-k = \sqrt[3]{4}$

$k = 2 - \sqrt[3]{4}$

## 最終的な答え

(1) 共有点の座標: $(0, 0)$, $(2-k, 2k-k^2)$

(2) 面積 $D$: $\frac{4}{3}$

(3) $k$ の値: $2 - \sqrt[3]{4}$