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$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 2x} - x)$ を計算する問題です。

解析学極限関数の極限無理式有理化
2025/6/12

1. 問題の内容

lim⁡x→∞(x2−2x−x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 2x} - x) を計算する問題です。

2. 解き方の手順

x2−2x−x\sqrt{x^2 - 2x} - x に共役な式 x2−2x+x\sqrt{x^2 - 2x} + x を掛けて割ることで、式を変形します。
lim⁡x→∞(x2−2x−x)=lim⁡x→∞(x2−2x−x)(x2−2x+x)x2−2x+x\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 2x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 2x} - x)(\sqrt{x^2 - 2x} + x)}{\sqrt{x^2 - 2x} + x}
=lim⁡x→∞(x2−2x)−x2x2−2x+x= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 - 2x} + x}
=lim⁡x→∞−2xx2−2x+x= \lim_{x \to \infty} \frac{-2x}{\sqrt{x^2 - 2x} + x}
xx で割ります。
lim⁡x→∞−21−2x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{1 - \frac{2}{x}} + 1}
x→∞x \to \infty のとき、2x→0\frac{2}{x} \to 0 なので、
lim⁡x→∞−21−2x+1=−21−0+1\lim_{x \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{1 - \frac{2}{x}} + 1} = \frac{-2}{\sqrt{1 - 0} + 1}
=−21+1=−22=−1= \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1

3. 最終的な答え

-1

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