与えられた積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{2}{x^2+4} dx$ (2) $\int \frac{8}{x^2-16} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{2}{x^2+4} dx$

(2) $\int \frac{8}{x^2-16} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{2}{x^2+4} dx$ の積分

$x = 2 \tan \theta$ と置換します。すると、$dx = 2 \sec^2 \theta d\theta$となります。

与式は

$\int \frac{2}{(2 \tan \theta)^2 + 4} (2 \sec^2 \theta) d\theta = \int \frac{4 \sec^2 \theta}{4 \tan^2 \theta + 4} d\theta = \int \frac{4 \sec^2 \theta}{4 (\tan^2 \theta + 1)} d\theta$

$= \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 \theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

$x = 2 \tan \theta$ より、$\tan \theta = \frac{x}{2}$、したがって $\theta = \arctan \frac{x}{2}$。

ゆえに、$\int \frac{2}{x^2+4} dx = \arctan \frac{x}{2} + C$

(2) $\int \frac{8}{x^2-16} dx$ の積分

部分分数分解を行います。$\frac{8}{x^2-16} = \frac{8}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$とおきます。

$8 = A(x+4) + B(x-4)$

$x=4$ のとき、$8 = 8A \implies A = 1$

$x=-4$ のとき、$8 = -8B \implies B = -1$

したがって、$\frac{8}{x^2-16} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}$

$\int \frac{8}{x^2-16} dx = \int \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4} \right) dx = \int \frac{1}{x-4} dx - \int \frac{1}{x+4} dx$

$= \ln |x-4| - \ln |x+4| + C = \ln \left| \frac{x-4}{x+4} \right| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\arctan \frac{x}{2} + C$

(2) $\ln \left| \frac{x-4}{x+4} \right| + C$