与えられた関数 $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^{10}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^{10}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を $u(x) = 1 + \frac{1}{x}$ と $v(u) = u^{10}$ の合成関数とみなします。つまり、$f(x) = v(u(x))$です。

合成関数の微分法則（連鎖律）を用いると、

$f'(x) = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

$u(x) = 1 + \frac{1}{x} = 1 + x^{-1}$ なので、$\frac{du}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ です。

$v(u) = u^{10}$ なので、$\frac{dv}{du} = 10u^9$ です。

したがって、

$f'(x) = 10u^9 \cdot (-\frac{1}{x^2}) = 10 (1 + \frac{1}{x})^9 \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{10}{x^2}(1 + \frac{1}{x})^9$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{10}{x^2}(1 + \frac{1}{x})^9$