与えられた数列の和を計算します。 具体的には、次の式で表される和を求めます。 $$ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2} $$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算します。

具体的には、次の式で表される和を求めます。

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2}$$

2. 解き方の手順

まず、分母の和を計算します。

$1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2$ は、初項1、公差2の等差数列の各項の2乗の和です。

この和を $S_k$ とすると、

$$S_k = \sum_{i=1}^{k} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{k} (4i^2 - 4i + 1) = 4 \sum_{i=1}^{k} i^2 - 4 \sum_{i=1}^{k} i + \sum_{i=1}^{k} 1$$

ここで、

$$\sum_{i=1}^{k} i^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$$

$$\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$$

$$\sum_{i=1}^{k} 1 = k$$

したがって、

$$S_k = 4 \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 4 \frac{k(k+1)}{2} + k = \frac{2k(k+1)(2k+1)}{3} - 2k(k+1) + k$$

$$S_k = \frac{k}{3} [2(k+1)(2k+1) - 6(k+1) + 3] = \frac{k}{3} [2(2k^2 + 3k + 1) - 6k - 6 + 3]$$

$$S_k = \frac{k}{3} [4k^2 + 6k + 2 - 6k - 3] = \frac{k}{3} (4k^2 - 1) = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}$$

よって、

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$$

ここで、$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)}$ を部分分数分解します。

$$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$$

$$3 = A(2k+1) + B(2k-1)$$

$k = \frac{1}{2}$ のとき、$3 = 2A$, よって $A = \frac{3}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ のとき、$3 = -2B$, よって $B = -\frac{3}{2}$

したがって、

$$\frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{3/2}{2k-1} - \frac{3/2}{2k+1} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$

よって、

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{3}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$$

これはtelescoping sumなので、

$$\frac{3}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right] = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$$

$$= \frac{3}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{3}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{3n}{2n+1}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{3n}{2n+1}$$