与えられた微分方程式の解を求める問題です。まず、同次方程式 $y'' + y = 0$ の一般解を求め、次に非同次方程式の特殊解 $v(x)$ を求める手順が示されています。$y_1 = \sin x$, $y_2 = \cos x$, $g(x) = \sin 2x$ が与えられており、ロンスキアン $W[y_1, y_2] = -1$ と、特殊解 $v(x)$ を求めるための積分式が与えられています。具体的には $$v(x) = \sin x \int \cos x \cdot \sin 2x \, dx - \cos x \int \sin x \cdot \sin 2x \, dx$$ を計算する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の解を求める問題です。まず、同次方程式 $y'' + y = 0$ の一般解を求め、次に非同次方程式の特殊解 $v(x)$ を求める手順が示されています。$y_1 = \sin x$, $y_2 = \cos x$, $g(x) = \sin 2x$ が与えられており、ロンスキアン $W[y_1, y_2] = -1$ と、特殊解 $v(x)$ を求めるための積分式が与えられています。具体的には

$$v(x) = \sin x \int \cos x \cdot \sin 2x \, dx - \cos x \int \sin x \cdot \sin 2x \, dx$$

を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ であることを利用します。

最初の積分は

$$\int \cos x \sin 2x \, dx = \int \cos x (2 \sin x \cos x) \, dx = 2 \int \sin x \cos^2 x \, dx$$

$u = \cos x$ とおくと $du = -\sin x \, dx$ なので、

$$2 \int \sin x \cos^2 x \, dx = -2 \int u^2 \, du = -2 \frac{u^3}{3} + C = -\frac{2}{3} \cos^3 x + C$$

次の積分は

$$\int \sin x \sin 2x \, dx = \int \sin x (2 \sin x \cos x) \, dx = 2 \int \sin^2 x \cos x \, dx$$

$v = \sin x$ とおくと $dv = \cos x \, dx$ なので、

$$2 \int \sin^2 x \cos x \, dx = 2 \int v^2 \, dv = 2 \frac{v^3}{3} + C = \frac{2}{3} \sin^3 x + C$$

したがって、

$$v(x) = \sin x \left(-\frac{2}{3} \cos^3 x\right) - \cos x \left(\frac{2}{3} \sin^3 x\right) = -\frac{2}{3} \sin x \cos^3 x - \frac{2}{3} \cos x \sin^3 x$$

$$= -\frac{2}{3} \sin x \cos x (\cos^2 x + \sin^2 x) = -\frac{2}{3} \sin x \cos x$$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ より、

$$v(x) = -\frac{1}{3} \sin 2x$$

3. 最終的な答え

$v(x) = -\frac{1}{3} \sin 2x$