与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' + y = \sin 2x$ の特殊解を公式を用いて求め、さらに一般解を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2階線形非同次微分方程式 $y'' + y = \sin 2x$ の特殊解を公式を用いて求め、さらに一般解を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式 $y'' + y = 0$ の一般解を求めます。次に、非同次方程式の特殊解を求め、同次方程式の一般解と特殊解を足し合わせて一般解を求めます。

(1) 同次方程式の解

特性方程式は $r^2 + 1 = 0$ であり、$r = \pm i$ を得ます。したがって、同次方程式の一般解は

$y_h(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

となります。ここで、$C_1$ と $C_2$ は任意定数です。

(2) 特殊解の導出

非同次項が $\sin 2x$ であるため、特殊解を $y_p(x) = A \cos 2x + B \sin 2x$ と仮定します。

$y_p'(x) = -2A \sin 2x + 2B \cos 2x$

$y_p''(x) = -4A \cos 2x - 4B \sin 2x$

これらを元の微分方程式に代入すると、

$(-4A \cos 2x - 4B \sin 2x) + (A \cos 2x + B \sin 2x) = \sin 2x$

$(-3A \cos 2x - 3B \sin 2x) = \sin 2x$

したがって、

$-3A = 0$ かつ $-3B = 1$

よって、$A = 0$ と $B = -1/3$ となります。

したがって、特殊解は

$y_p(x) = -\frac{1}{3} \sin 2x$

となります。

(3) 一般解の導出

一般解は、同次方程式の一般解と特殊解の和で与えられます。

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{3} \sin 2x$

3. 最終的な答え

一般解は

$y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{3} \sin 2x$

です。