関数 $f(x)$ は微分可能であり、$x \to +\infty$ のとき $f'(x) \to \alpha$ であるとする。このとき、$\lim_{x \to +\infty} (f(x+1) - f(x)) = \alpha$ であることを示せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ は微分可能であり、$x \to +\infty$ のとき $f'(x) \to \alpha$ であるとする。このとき、$\lim_{x \to +\infty} (f(x+1) - f(x)) = \alpha$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

平均値の定理を用いる。

$f(x+1) - f(x)$ に対して、区間 $[x, x+1]$ で平均値の定理を適用すると、ある $c_x \in (x, x+1)$ が存在して、

$f(x+1) - f(x) = f'(c_x)((x+1) - x) = f'(c_x)$

となる。

ここで、$x \to +\infty$ のとき、$c_x$ も $c_x \to +\infty$ となる。

なぜならば、$x < c_x < x+1$ であるから、$x \to +\infty$ で $x+1 \to +\infty$ なので、$c_x \to +\infty$。

したがって、

$\lim_{x \to +\infty} (f(x+1) - f(x)) = \lim_{x \to +\infty} f'(c_x)$

$f'(x) \to \alpha$ ($x \to +\infty$)であることから、

$\lim_{c_x \to +\infty} f'(c_x) = \alpha$

ゆえに、

$\lim_{x \to +\infty} (f(x+1) - f(x)) = \alpha$

となる。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to +\infty} (f(x+1) - f(x)) = \alpha$