$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める問題です。ただし、倍角の公式を利用して解く必要があります。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める問題です。ただし、倍角の公式を利用して解く必要があります。

2. 解き方の手順

$\frac{\pi}{12}$ は $\frac{\pi}{6}$ の半分であることに着目します。倍角の公式

$\cos{2\theta} = 1 - 2\sin^2{\theta}$

を利用します。

$\theta = \frac{\pi}{12}$ とすると、$2\theta = \frac{\pi}{6}$ となります。

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるので、

$\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sin^2{\frac{\pi}{12}}$

この式を $\sin^2{\frac{\pi}{12}}$ について解きます。

$2\sin^2{\frac{\pi}{12}} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ は正の値であるため、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

さらに、二重根号を外します。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$