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以下の2つの式を、三角関数の和または差の形に変形します。 (1) $\sin 5\theta \cos 3\theta$ (2) $\cos 2\theta \cos 3\theta$

解析学三角関数積和の公式三角関数の加法定理
2025/6/14

1. 問題の内容

以下の2つの式を、三角関数の和または差の形に変形します。
(1) sin⁡5θcos⁡3θ\sin 5\theta \cos 3\theta
(2) cos⁡2θcos⁡3θ\cos 2\theta \cos 3\theta

2. 解き方の手順

(1) sin⁡5θcos⁡3θ\sin 5\theta \cos 3\theta の場合
積和の公式を用います。
sin⁡Acos⁡B=12{sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)}\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}
A=5θA = 5\theta, B=3θB = 3\theta とすると、
sin⁡5θcos⁡3θ=12{sin⁡(5θ+3θ)+sin⁡(5θ−3θ)}\sin 5\theta \cos 3\theta = \frac{1}{2}\{\sin(5\theta + 3\theta) + \sin(5\theta - 3\theta)\}
=12{sin⁡(8θ)+sin⁡(2θ)}= \frac{1}{2}\{\sin(8\theta) + \sin(2\theta)\}
=12sin⁡8θ+12sin⁡2θ= \frac{1}{2} \sin 8\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta
(2) cos⁡2θcos⁡3θ\cos 2\theta \cos 3\theta の場合
積和の公式を用います。
cos⁡Acos⁡B=12{cos⁡(A+B)+cos⁡(A−B)}\cos A \cos B = \frac{1}{2}\{\cos(A+B) + \cos(A-B)\}
A=2θA = 2\theta, B=3θB = 3\theta とすると、
cos⁡2θcos⁡3θ=12{cos⁡(2θ+3θ)+cos⁡(2θ−3θ)}\cos 2\theta \cos 3\theta = \frac{1}{2}\{\cos(2\theta + 3\theta) + \cos(2\theta - 3\theta)\}
=12{cos⁡(5θ)+cos⁡(−θ)}= \frac{1}{2}\{\cos(5\theta) + \cos(-\theta)\}
cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta であるから、
cos⁡2θcos⁡3θ=12{cos⁡(5θ)+cos⁡(θ)}\cos 2\theta \cos 3\theta = \frac{1}{2}\{\cos(5\theta) + \cos(\theta)\}
=12cos⁡5θ+12cos⁡θ= \frac{1}{2} \cos 5\theta + \frac{1}{2} \cos \theta

3. 最終的な答え

(1) sin⁡5θcos⁡3θ=12sin⁡8θ+12sin⁡2θ\sin 5\theta \cos 3\theta = \frac{1}{2} \sin 8\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta
(2) cos⁡2θcos⁡3θ=12cos⁡5θ+12cos⁡θ\cos 2\theta \cos 3\theta = \frac{1}{2} \cos 5\theta + \frac{1}{2} \cos \theta

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