与えられた三角関数の積を、和または差の形に変換する問題です。具体的には、以下の2つの式を変換します。 (1) $\sin{5\theta}\cos{3\theta}$ (2) $\cos{2\theta}\cos{3\theta}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の積を、和または差の形に変換する問題です。具体的には、以下の2つの式を変換します。

(1) $\sin{5\theta}\cos{3\theta}$

(2) $\cos{2\theta}\cos{3\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin{5\theta}\cos{3\theta}$ の場合、三角関数の積和の公式を用います。

$\sin{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}\{\sin{(\alpha+\beta)} + \sin{(\alpha-\beta)}\}$

ここで、$\alpha = 5\theta$, $\beta = 3\theta$ とすると、

$\sin{5\theta}\cos{3\theta} = \frac{1}{2}\{\sin{(5\theta+3\theta)} + \sin{(5\theta-3\theta)}\} = \frac{1}{2}\{\sin{8\theta} + \sin{2\theta}\}$

(2) $\cos{2\theta}\cos{3\theta}$ の場合も、三角関数の積和の公式を用います。

$\cos{\alpha}\cos{\beta} = \frac{1}{2}\{\cos{(\alpha+\beta)} + \cos{(\alpha-\beta)}\}$

ここで、$\alpha = 2\theta$, $\beta = 3\theta$ とすると、

$\cos{2\theta}\cos{3\theta} = \frac{1}{2}\{\cos{(2\theta+3\theta)} + \cos{(2\theta-3\theta)}\} = \frac{1}{2}\{\cos{5\theta} + \cos{(-\theta)}\}$

$\cos{(-\theta)} = \cos{\theta}$ であるから、

$\cos{2\theta}\cos{3\theta} = \frac{1}{2}\{\cos{5\theta} + \cos{\theta}\}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin{5\theta}\cos{3\theta} = \frac{1}{2}\sin{8\theta} + \frac{1}{2}\sin{2\theta}$

(2) $\cos{2\theta}\cos{3\theta} = \frac{1}{2}\cos{5\theta} + \frac{1}{2}\cos{\theta}$