与えられた関数 $f(x)$ に対して、$n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに $f^{(n)}(0)$ を求めます。関数は2つ与えられており、それぞれに対して計算を行います。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、$n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに $f^{(n)}(0)$ を求めます。関数は2つ与えられており、それぞれに対して計算を行います。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 2xe^{x^2}$

次に、$f^{(n)}(x)$を計算するために、$g(x) = 2x$、$h(x) = e^{x^2}$とおくと、$f'(x) = g(x) h(x)$となります。ライプニッツの公式を用いると、

$f^{(n+1)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} g^{(k)}(x) h^{(n-k)}(x)$

ここで、$g(x) = 2x$ なので、$g'(x) = 2$、$g''(x) = 0$ であり、$k \ge 2$ に対して $g^{(k)}(x) = 0$です。したがって、

$f^{(n+1)}(x) = \binom{n}{0} g(x) h^{(n)}(x) + \binom{n}{1} g'(x) h^{(n-1)}(x)$

$f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

これは漸化式です。次に、$f^{(n)}(0)$ を求めます。

$f^{(n+1)}(0) = 2(0) f^{(n)}(0) + 2n f^{(n-1)}(0)$

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

$f(0) = e^{0^2} = 1$

$f'(0) = 2(0) e^{0^2} = 0$

$f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}$ なので $f''(0) = 2$

$f'''(0) = 8 x e^{x^2} + 8 x^3 e^{x^2}|_{x=0} = 0$

初期値として、$f(0) = 1$, $f'(0) = 0$ があります。$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$の漸化式から、$n$ が奇数のとき $f^{(n)}(0) = 0$です。$n$ が偶数のときは、$n = 2m$として

$f^{(2m)}(0) = 2(2m-1) f^{(2m-2)}(0)$

$f^{(2m)}(0) = 2(2m-1) 2(2m-3) \dots 2(1) f^{(0)}(0) = 2^m (2m-1)(2m-3) \dots (1)$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の場合

$f(x) = \frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1-ix} + \frac{1}{1+ix})$と分解できます。

$(\frac{1}{1-ix})^{(n)} = \frac{n! i^n}{(1-ix)^{n+1}}$

$(\frac{1}{1+ix})^{(n)} = \frac{(-1)^n n! i^n}{(1+ix)^{n+1}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} ( \frac{n! i^n}{(1-ix)^{n+1}} + \frac{(-1)^n n! i^n}{(1+ix)^{n+1}})$

したがって、$f^{(n)}(0) = \frac{1}{2} ( n! i^n + (-1)^n n! i^n ) = \frac{n! i^n}{2} (1 + (-1)^n)$

$n$が奇数のとき、$f^{(n)}(0)=0$

$n$が偶数のとき、$n=2k$とおくと、$f^{(2k)}(0) = (2k)! i^{2k} = (2k)! (-1)^k$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合

漸化式: $f^{(n+1)}(x) = 2x f^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

$n$ が奇数のとき $f^{(n)}(0) = 0$。

$n = 2m$ のとき $f^{(2m)}(0) = 2^m (2m-1)(2m-3) \dots (1)$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の場合

漸化式:　導出省略

$n$が奇数のとき、$f^{(n)}(0)=0$

$n$が偶数のとき、$n=2k$とおくと、$f^{(2k)}(0) = (2k)! (-1)^k$