はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。

**

1. 問題の内容**

与えられた12個の関数それぞれについて、導関数を求める問題です。

**

2. 解き方の手順**

各関数の導関数を計算します。

(1) $y = (x^2+1)^5(x^3-2)^3$

積の微分公式を使用します。

$y' = 5(x^2+1)^4(2x)(x^3-2)^3 + (x^2+1)^5(3)(x^3-2)^2(3x^2)$

$y' = 10x(x^2+1)^4(x^3-2)^3 + 9x^2(x^2+1)^5(x^3-2)^2$

$y' = x(x^2+1)^4(x^3-2)^2 [10(x^3-2)+9x(x^2+1)]$

$y' = x(x^2+1)^4(x^3-2)^2 (19x^3+9x-20)$

(2) $y = \log(\log x)$

合成関数の微分公式を使用します。

$y' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

(3) $y = 2^x$

指数関数の微分公式を使用します。

$y' = 2^x \log 2$

(4) $y = x^3(x^2+1)^{3/2}$

積の微分公式を使用します。

$y' = 3x^2(x^2+1)^{3/2} + x^3 \frac{3}{2}(x^2+1)^{1/2}(2x)$

$y' = 3x^2(x^2+1)^{3/2} + 3x^4(x^2+1)^{1/2}$

$y' = 3x^2(x^2+1)^{1/2} (x^2+1+x^2)$

$y' = 3x^2(x^2+1)^{1/2}(2x^2+1)$

(5) $y = e^{x^x}$

合成関数の微分公式を使用します。まず、$u = x^x$ の導関数を求めます。

$\log u = x \log x$

$\frac{u'}{u} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$u' = x^x (\log x + 1)$

$y' = e^{x^x} \cdot x^x(\log x + 1)$

(6) $y = (\sin x)^{\cos x}$

両辺の対数をとります。

$\log y = \cos x \log (\sin x)$

両辺を$x$で微分します。

$\frac{y'}{y} = -\sin x \log (\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

$\frac{y'}{y} = -\sin x \log (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}$

$y' = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \log (\sin x) \right)$

(7) $y = \tan^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$

$x = \tan \theta$ とおくと、$\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} = \cos 2\theta$

よって$y = \tan^{-1}(\cos 2\theta) = \tan^{-1} (\cos 2 \arctan x)$

$y' = \frac{1}{1+(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2} \cdot \frac{-2x(1+x^2) - (1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{(1+x^2)^2}{(1+x^2)^2+(1-x^2)^2} \cdot \frac{-2x-2x^3-2x+2x^3}{(1+x^2)^2}$

$y' = \frac{1}{1+x^4+2x^2+1+x^4-2x^2} \cdot (-4x)$

$y' = \frac{-4x}{2+2x^4} = \frac{-2x}{1+x^4}$

別の解法：$x = \tan \theta$とおくと、$2\theta = 2 \arctan x$だから、

$y = \tan^{-1} \left( \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} \right) = \tan^{-1} (\cos 2\theta)$

$\cos 2\theta = \cos(2 \arctan x)$

もし$x>0$なら、$y = \frac{\pi}{2} - 2 \arctan x$

$y' = -\frac{2}{1+x^2}$

(8) $y = \sqrt{1+2\log x}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+2\log x}} \cdot \frac{2}{x} = \frac{1}{x\sqrt{1+2\log x}}$

(9) $y = \sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$

$x = \tan \theta$とすると、$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \sin \theta$

$y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \arctan x$

$y' = \frac{1}{1+x^2}$

(10) $y = 2\cos^{-1}\sqrt{\frac{x+1}{2}}$

$y' = 2 \cdot \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{x+1}{2}}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{2}}}$

$y' = \frac{-1}{\sqrt{\frac{1-x}{2}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{2}}} = \frac{-1}{\sqrt{\frac{1-x^2}{4}}} = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$

(11) $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$

両辺の対数をとります。

$\log y = \frac{1}{2} [\log(x-1)+\log(x-2)-\log(x-3)-\log(x-4)]$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-4} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \left( \frac{2x-3}{(x-1)(x-2)} - \frac{2x-7}{(x-3)(x-4)} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \left( \frac{(2x-3)(x^2-7x+12)-(2x-7)(x^2-3x+2)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \left( \frac{(2x^3 -14x^2+24x-3x^2+21x-36)-(2x^3 -6x^2+4x-7x^2+21x-14)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} \right)$

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \left( \frac{-4x^2+20x-22}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)} \right)$

$y' = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} \cdot \frac{-2x^2+10x-11}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}$

$y' = \frac{-2x^2+10x-11}{\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)^3}}$

(12) $y = x\sqrt{a^2-x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} \quad (a>0)$

$y' = \sqrt{a^2-x^2} + x \frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}} + a^2 \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a}$

$y' = \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2-x^2-x^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$y' = \frac{2(a^2-x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} = 2\sqrt{a^2-x^2}$

**

3. 最終的な答え**

(1) $y' = x(x^2+1)^4(x^3-2)^2 (19x^3+9x-20)$

(2) $y' = \frac{1}{x \log x}$

(3) $y' = 2^x \log 2$

(4) $y' = 3x^2(x^2+1)^{1/2}(2x^2+1)$

(5) $y' = e^{x^x} \cdot x^x(\log x + 1)$

(6) $y' = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \log (\sin x) \right)$

(7) $y' = -\frac{2}{1+x^2}$

(8) $y' = \frac{1}{x\sqrt{1+2\log x}}$

(9) $y' = \frac{1}{1+x^2}$

(10) $y' = \frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$

(11) $y' = \frac{-2x^2+10x-11}{\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)^3(x-4)^3}}$

(12) $y' = 2\sqrt{a^2-x^2}$