以下の2つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$

はい、承知いたしました。与えられた極限の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の2つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) の手順：

まず、$y = x^{\frac{1}{1-x}}$とおきます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \frac{1}{1-x} \ln x$

$\lim_{x \to 1} \ln y = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x}$

ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = -1$

したがって、$\lim_{x \to 1} \ln y = -1$

$\lim_{x \to 1} y = e^{-1}$

(2) の手順：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$

ここで、$e^x$と$e^{-x}$をマクローリン展開します。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

よって、

$e^x + e^{-x} = 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + \cdots = 2 + x^2 + \frac{x^4}{12} + \cdots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^4}{12} + \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x^2}{12} + \cdots) = 1$

または、ロピタルの定理を2回使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1+1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2} = 1$