与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに $f^{(n)}(0)$ を求める問題です。関数は2つ与えられています。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに $f^{(n)}(0)$ を求める問題です。関数は2つ与えられています。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{x^2}$の場合

$f'(x) = 2xe^{x^2} = 2xf(x)$

両辺を $n$ 回微分します。ライプニッツの公式を用いて、

$(f'(x))^{(n)} = (2xf(x))^{(n)}$

$f^{(n+1)}(x) = 2(xf^{(n)}(x) + n f^{(n-1)}(x))$

$f^{(n+1)}(x) = 2xf^{(n)}(x) + 2n f^{(n-1)}(x)$

$x=0$ を代入すると、

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

初期条件: $f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = 2xe^{x^2}$, $f'(0) = 0$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$の場合

$f(x) = \frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{2i}(\frac{1}{x-i} - \frac{1}{x+i})$

$f'(x) = \frac{1}{2i}(-\frac{1}{(x-i)^2} + \frac{1}{(x+i)^2})$

$f''(x) = \frac{1}{2i}(\frac{2}{(x-i)^3} - \frac{2}{(x+i)^3})$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2i}(\frac{(-1)^n n!}{(x-i)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+i)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2i}(\frac{1}{(x-i)^{n+1}} - \frac{1}{(x+i)^{n+1}})$

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! \frac{1}{2i}[\frac{1}{(x-i)^{n+1}} - \frac{1}{(x+i)^{n+1}}]$

$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2i}(\frac{1}{(-i)^{n+1}} - \frac{1}{(i)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2i}(i^{n+1} - (-i)^{n+1})$

$f^{(n)}(0) = (-1)^n n! \frac{i^{n+1} - (-i)^{n+1}}{2i}$

$f^{(n)}(0) = (-1)^n n! \text{Im}(i^n)$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{x^2}$の場合

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 0$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$の場合

$f^{(n)}(0) = (-1)^n n! \text{Im}(i^n)$