与えられた三角関数の値を計算します。具体的には、$\sin(\frac{2}{3}\pi)$、$\tan(\frac{4}{3}\pi)$、$\cos(\frac{16}{3}\pi)$、$\sin(\frac{9}{4}\pi)$、$\cos(-\frac{25}{6}\pi)$ の値をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を計算します。具体的には、$\sin(\frac{2}{3}\pi)$、$\tan(\frac{4}{3}\pi)$、$\cos(\frac{16}{3}\pi)$、$\sin(\frac{9}{4}\pi)$、$\cos(-\frac{25}{6}\pi)$ の値をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

* $\sin(\frac{2}{3}\pi)$: $\frac{2}{3}\pi$ は第2象限の角で、基準角は $\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{1}{3}\pi = 60^\circ$ です。したがって、$\sin(\frac{2}{3}\pi) = \sin(\frac{1}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

* $\tan(\frac{4}{3}\pi)$: $\frac{4}{3}\pi$ は第3象限の角で、基準角は $\frac{4}{3}\pi - \pi = \frac{1}{3}\pi = 60^\circ$ です。第3象限ではタンジェントは正なので、$\tan(\frac{4}{3}\pi) = \tan(\frac{1}{3}\pi) = \sqrt{3}$ となります。

* $\cos(\frac{16}{3}\pi)$: $\frac{16}{3}\pi = 5\pi + \frac{1}{3}\pi$ です。$5\pi$は$2\pi \times 2 + \pi$なので、$\frac{16}{3}\pi$ は $\pi + \frac{1}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi$ と同じ位置にあります。これは第3象限の角で、基準角は $\frac{4}{3}\pi - \pi = \frac{1}{3}\pi$ です。第3象限ではコサインは負なので、$\cos(\frac{16}{3}\pi) = \cos(\frac{4}{3}\pi) = -\cos(\frac{1}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$となります。

* $\sin(\frac{9}{4}\pi)$: $\frac{9}{4}\pi = 2\pi + \frac{1}{4}\pi$ です。したがって、$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

* $\cos(-\frac{25}{6}\pi)$: $-\frac{25}{6}\pi = -4\pi - \frac{1}{6}\pi$ です。$-4\pi$は一周を2回逆方向に回ることを意味するので、$\cos(-\frac{25}{6}\pi) = \cos(-\frac{1}{6}\pi) = \cos(\frac{1}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$となります。

3. 最終的な答え

* $\sin(\frac{2}{3}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan(\frac{4}{3}\pi) = \sqrt{3}$

* $\cos(\frac{16}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

* $\sin(\frac{9}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

* $\cos(-\frac{25}{6}\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}$