与えられた無限級数の和を求める問題です。級数は以下のようになります。 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。級数は以下のようになります。

$\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots$

2. 解き方の手順

この級数の各項は、$\frac{1}{n(n+1)}$ の形をしています。この項を部分分数分解すると、

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

となります。したがって、級数は以下のように書き換えられます。

$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots$

これは望遠鏡級数（telescoping series）と呼ばれるもので、多くの項が互いに打ち消し合い、最初の項と最後の項だけが残ります。

具体的には、第n項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

$= 1 - \frac{1}{n+1}$

求める無限級数の和は、$n \to \infty$ のときの $S_n$ の極限です。

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1}) = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

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