与えられた積分を公式14.6を用いて計算する。 (1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$ (2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を公式14.6を用いて計算する。

(1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

(2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx$

まず、積分定数を無視して、公式14.6が何であるかを仮定する必要があります。積分表を調べると、次の公式が対応することがわかります。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$

ここで、$a=3$である。したがって、

$\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6 \int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx = 6 \arcsin(\frac{x}{3}) + C$

(2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx$

この場合、対応する公式は次のとおりです。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx = \ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C$

$a = \sqrt{3}$ なので、

$\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx = 2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2-(\sqrt{3})^2}} dx = 2 \ln|x + \sqrt{x^2-3}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{6}{\sqrt{9-x^2}} dx = 6 \arcsin(\frac{x}{3}) + C$

(2) $\int \frac{2}{\sqrt{x^2-3}} dx = 2 \ln|x + \sqrt{x^2-3}| + C$