与えられた関数 $f(x) = \frac{x^3 + 1}{\sqrt{x} + 1}$ の微分 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{x^3 + 1}{\sqrt{x} + 1}$ の微分 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

です。ここで、$u = x^3 + 1$、$v = \sqrt{x} + 1$ とおくと、

$u' = (x^3 + 1)' = 3x^2$

$v' = (\sqrt{x} + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

となります。これらを商の微分公式に代入すると、

$f'(x) = \frac{(3x^2)(\sqrt{x} + 1) - (x^3 + 1)(\frac{1}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x} + 1)^2}$

となります。これを整理します。分子を計算すると、

$3x^2(\sqrt{x} + 1) - (x^3 + 1)(\frac{1}{2\sqrt{x}}) = 3x^{5/2} + 3x^2 - \frac{x^3}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 3x^{5/2} + 3x^2 - \frac{x^{5/2}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5}{2}x^{5/2} + 3x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$

となります。したがって、

$f'(x) = \frac{\frac{5}{2}x^{5/2} + 3x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{5x^{5/2} + 6x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}}}{2(\sqrt{x} + 1)^2} = \frac{5x^3 + 6x^{5/2} - 1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5x^3 + 6x^{5/2} - 1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)^2}$