与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ の一般解を求め、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$ を満たす解を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式 $y' + 4y = 3e^{-4x}$ は、1階線形微分方程式です。

この方程式を解くために、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x)$ は、

$\mu(x) = e^{\int 4 dx} = e^{4x}$

となります。

次に、微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 3e^{-4x} e^{4x}$

$e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 3$

左辺は、$(e^{4x} y)'$ と変形できるので、

$(e^{4x} y)' = 3$

両辺を $x$ で積分します。

$\int (e^{4x} y)' dx = \int 3 dx$

$e^{4x} y = 3x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

よって、一般解は

$y = e^{-4x} (3x + C)$

となります。

次に、初期条件 $x = 0$ のとき $y = 1$ を用いて積分定数 $C$ を求めます。

$1 = e^{-4(0)} (3(0) + C)$

$1 = 1 (0 + C)$

$C = 1$

したがって、初期条件を満たす解は

$y = e^{-4x} (3x + 1)$

となります。

3. 最終的な答え

与えられた選択肢の中で、この解と一致するのは3番です。

答え:

3. $y = (3x + 1) e^{-4x}$