与えられた2つの定積分を計算する問題です。公式14.6を利用して解くことが指示されています。 (1) $\int_0^6 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$ (2) $\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2-3}} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算する問題です。公式14.6を利用して解くことが指示されています。

(1) $\int_0^6 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx$

(2) $\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2-3}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

公式14.6は、おそらく以下の形を指していると思われます。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$

この公式を適用すると、

$\int_0^6 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} dx = \int_0^6 \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} dx = \left[ \arcsin(\frac{x}{3}) \right]_0^6 = \arcsin(\frac{6}{3}) - \arcsin(\frac{0}{3}) = \arcsin(2) - \arcsin(0)$

$\arcsin(2)$は定義されないので、これは誤りです。積分範囲を確認すると、x=3で被積分関数は定義できないことがわかります。$x=3$に注目して、

$\lim_{x\to 3^-} \arcsin(\frac{x}{3}) = \arcsin(1)=\pi/2$なので積分範囲を分割して$x=3$の近傍で積分を評価する必要があります。しかし積分範囲に矛盾が見られるので、ここでは積分できないと判断します。

(2)

公式14.6は、おそらく以下の形を指していると思われます。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \operatorname{arcosh}(\frac{x}{a}) + C = \ln(x + \sqrt{x^2-a^2}) + C$

または

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C$

この公式を適用すると、$a^2=3$、$a=\sqrt{3}$です。

$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{x^2-3}} dx = \left[ \ln |x + \sqrt{x^2 - 3}| \right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} = \lim_{x\to\sqrt{3}^-} \ln |x + \sqrt{x^2 - 3}| - \ln |\sqrt{2} + \sqrt{(\sqrt{2})^2 - 3}| = \lim_{x\to\sqrt{3}^-} \ln |x + \sqrt{x^2 - 3}| - \ln |\sqrt{2} + \sqrt{2 - 3}|$

$\sqrt{2-3} = \sqrt{-1}$となり、虚数が出てくるので、この積分はできません。積分範囲がおかしいです。

問題の画像と問題文に矛盾が見られるので、解けるのは(1)か(2)のいずれかのみ、もしくは両方とも解けない可能性があります。

3. 最終的な答え

(1) 積分範囲に矛盾が見られるため積分できない。

(2) 積分範囲に矛盾が見られるため積分できない。