与えられた積分を計算する問題です。 積分は次の通りです。 $\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2)dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。

積分は次の通りです。

$\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2)dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を各項に分けます。

$\int \sqrt{\frac{4}{x^3}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{2x}} dx + \int (3x)^2 dx$

それぞれの積分を個別に計算します。

1つ目の積分:

$\int \sqrt{\frac{4}{x^3}} dx = \int \frac{2}{x^{3/2}} dx = 2\int x^{-3/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C_1 = -4x^{-1/2} + C_1 = -\frac{4}{\sqrt{x}} + C_1$

2つ目の積分:

$\int \frac{1}{\sqrt{2x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int x^{-1/2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_2 = \frac{2}{\sqrt{2}} \sqrt{x} + C_2 = \sqrt{2x} + C_2$

3つ目の積分:

$\int (3x)^2 dx = \int 9x^2 dx = 9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C_3 = 3x^3 + C_3$

それぞれの積分結果を足し合わせます。

$-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

ただし、$C = C_1 + C_2 + C_3$

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$