与えられた2つの三角不等式を解く問題です。 (1) $\sin 2\theta - \sin \theta + 4\cos \theta \le 2$, $0 \le \theta \le 2\pi$ (2) $\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0$, $0 \le x < 2\pi$

1. 問題の内容

与えられた2つの三角不等式を解く問題です。

(1) $\sin 2\theta - \sin \theta + 4\cos \theta \le 2$, $0 \le \theta \le 2\pi$

(2) $\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0$, $0 \le x < 2\pi$

2. 解き方の手順

(1)

$\sin 2\theta - \sin \theta + 4\cos \theta \le 2$ を解きます。

まず、$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ を用いて式を書き換えます。

$2 \sin \theta \cos \theta - \sin \theta + 4\cos \theta \le 2$

$2 \sin \theta \cos \theta - \sin \theta + 4\cos \theta - 2 \le 0$

$\sin \theta (2\cos \theta - 1) + 2(2\cos \theta - 1) \le 0$

$(2\cos \theta - 1)(\sin \theta + 2) \le 0$

$\sin \theta + 2$ は常に正なので、$2\cos \theta - 1 \le 0$ を解けば良い。

$\cos \theta \le \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

(2)

$\sin^2 x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \ge 0$ を解きます。

$\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \ge 0$

場合分けをします。

(i) $\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$

(ii) $\sin x > 0$ のとき、$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \ge 0$

$\sin x + \sqrt{3} \cos x \ge 1$

$2(\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) \ge 1$

$2 \sin (x + \frac{\pi}{3}) \ge 1$

$\sin (x + \frac{\pi}{3}) \ge \frac{1}{2}$

$x + \frac{\pi}{3} = t$ と置くと、$\sin t \ge \frac{1}{2}$ となる範囲を求める。

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6} \le t \le \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{13\pi}{6} \le t < \frac{7\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{5\pi}{6}$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$

$\frac{13\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} < \frac{7\pi}{3}$ より、$\frac{11\pi}{6} \le x < 2\pi$

$\sin x > 0$ なので、$0 < x < \pi$

したがって、$0 < x \le \frac{\pi}{2}$ または $\frac{11\pi}{6} \le x < 2\pi$ は不適なので、$0 < x \le \frac{\pi}{2}$

(iii) $\sin x < 0$ のとき、$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \le 0$

$\sin x + \sqrt{3} \cos x \le 1$

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) \le 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \le \frac{1}{2}$

$x + \frac{\pi}{3} = t$ と置くと、$\sin t \le \frac{1}{2}$ となる範囲を求める。

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \le t < \frac{7\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{6} \le t \le \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} \le x + \frac{\pi}{3} \le \frac{13\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{11\pi}{6}$

$\sin x < 0$ なので、$\pi < x < 2\pi$

したがって、$\pi < x \le \frac{11\pi}{6}$

(i), (ii), (iii) を合わせると、$x = 0, \pi$ と $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ と $\pi < x \le \frac{11\pi}{6}$

よって、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ または $\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

(2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ または $\pi \le x \le \frac{11\pi}{6}$