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与えられた4つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}$ (2) $\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+x} dx$ (3) $\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx$ (4) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

解析学不定積分積分計算有理化置換積分
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算します。
(1) ∫dxx+2−x\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}
(2) ∫2xx2+1+xdx\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+x} dx
(3) ∫3x−1x+1dx\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx
(4) ∫x1−x2dx\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx

2. 解き方の手順

(1) ∫dxx+2−x\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}
分母の有理化を行います。
1x+2−x=x+2+x(x+2−x)(x+2+x)=x+2+xx+2−x=x+2+x2\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{x+2-x} = \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{2}
したがって、
∫dxx+2−x=∫x+2+x2dx=12∫(x+2+x)dx\int \frac{dx}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}} = \int \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{2} dx = \frac{1}{2} \int (\sqrt{x+2}+\sqrt{x}) dx
=12(23(x+2)3/2+23x3/2)+C=13(x+2)3/2+13x3/2+C= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \right) + C = \frac{1}{3} (x+2)^{3/2} + \frac{1}{3}x^{3/2} + C
(2) ∫2xx2+1+xdx\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+x} dx
分母の有理化を行います。
2xx2+1+x=2x(x2+1−x)(x2+1+x)(x2+1−x)=2x(x2+1−x)x2+1−x2=2x(x2+1−x)\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{2x(\sqrt{x^2+1}-x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)} = \frac{2x(\sqrt{x^2+1}-x)}{x^2+1-x^2} = 2x(\sqrt{x^2+1}-x)
したがって、
∫2xx2+1+xdx=∫2x(x2+1−x)dx=∫(2xx2+1−2x2)dx\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}+x} dx = \int 2x(\sqrt{x^2+1}-x) dx = \int (2x\sqrt{x^2+1} - 2x^2) dx
=∫2xx2+1dx−∫2x2dx=23(x2+1)3/2−23x3+C= \int 2x\sqrt{x^2+1} dx - \int 2x^2 dx = \frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^3 + C
(3) ∫3x−1x+1dx\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx
t=x+1t = x+1とおくと、x=t−1x = t-1、dx=dtdx = dt
∫3x−1x+1dx=∫3(t−1)−1tdt=∫3t−4tdt=∫(3t−4t)dt=∫(3t1/2−4t−1/2)dt\int \frac{3x-1}{\sqrt{x+1}} dx = \int \frac{3(t-1)-1}{\sqrt{t}} dt = \int \frac{3t-4}{\sqrt{t}} dt = \int (3\sqrt{t} - \frac{4}{\sqrt{t}}) dt = \int (3t^{1/2} - 4t^{-1/2}) dt
=3⋅23t3/2−4⋅2t1/2+C=2t3/2−8t1/2+C=2(x+1)3/2−8(x+1)1/2+C= 3 \cdot \frac{2}{3}t^{3/2} - 4 \cdot 2 t^{1/2} + C = 2t^{3/2} - 8t^{1/2} + C = 2(x+1)^{3/2} - 8(x+1)^{1/2} + C
=2(x+1)x+1−8x+1+C=2(x+1−4)x+1+C=2(x−3)x+1+C= 2(x+1)\sqrt{x+1} - 8\sqrt{x+1} + C = 2(x+1-4)\sqrt{x+1} + C = 2(x-3)\sqrt{x+1} + C
(4) ∫x1−x2dx\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx
t=1−x2t = 1-x^2とおくと、dt=−2xdxdt = -2x dx、xdx=−12dtx dx = -\frac{1}{2}dt
∫x1−x2dx=∫1t(−12dt)=−12∫t−1/2dt=−12(2t1/2)+C=−t1/2+C\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2} dt) = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} (2t^{1/2}) + C = -t^{1/2} + C
=−1−x2+C= -\sqrt{1-x^2} + C

3. 最終的な答え

(1) 13(x+2)3/2+13x3/2+C\frac{1}{3} (x+2)^{3/2} + \frac{1}{3}x^{3/2} + C
(2) 23(x2+1)3/2−23x3+C\frac{2}{3}(x^2+1)^{3/2} - \frac{2}{3}x^3 + C
(3) 2(x−3)x+1+C2(x-3)\sqrt{x+1} + C
(4) −1−x2+C-\sqrt{1-x^2} + C

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