与えられた関数を微分する問題です。以下の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。 (1) $y = \frac{2}{x+1}$ (2) $y = \frac{x}{x-1}$ (3) $y = \frac{7x}{x^2+x+1}$ (4) $y = \frac{3x^2-4}{1-2x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。以下の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。

(1) $y = \frac{2}{x+1}$

(2) $y = \frac{x}{x-1}$

(3) $y = \frac{7x}{x^2+x+1}$

(4) $y = \frac{3x^2-4}{1-2x}$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いて微分を行います。

(1) $y = \frac{2}{x+1}$ の微分

$u = 2$, $v = x+1$ とすると、$u' = 0$, $v' = 1$。よって、

$$y' = \frac{0 \cdot (x+1) - 2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{-2}{(x+1)^2}$$

(2) $y = \frac{x}{x-1}$ の微分

$u = x$, $v = x-1$ とすると、$u' = 1$, $v' = 1$。よって、

$$y' = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$$

(3) $y = \frac{7x}{x^2+x+1}$ の微分

$u = 7x$, $v = x^2+x+1$ とすると、$u' = 7$, $v' = 2x+1$。よって、

\begin{align*}

y' &= \frac{7 \cdot (x^2+x+1) - 7x \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} \\

&= \frac{7x^2+7x+7 - 14x^2 - 7x}{(x^2+x+1)^2} \\

&= \frac{-7x^2+7}{(x^2+x+1)^2}

\end{align*}

(4) $y = \frac{3x^2-4}{1-2x}$ の微分

$u = 3x^2-4$, $v = 1-2x$ とすると、$u' = 6x$, $v' = -2$。よって、

\begin{align*}

y' &= \frac{6x \cdot (1-2x) - (3x^2-4) \cdot (-2)}{(1-2x)^2} \\

&= \frac{6x-12x^2 + 6x^2 - 8}{(1-2x)^2} \\

&= \frac{-6x^2+6x-8}{(1-2x)^2}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-2}{(x+1)^2}$

(2) $y' = \frac{-1}{(x-1)^2}$

(3) $y' = \frac{-7x^2+7}{(x^2+x+1)^2}$

(4) $y' = \frac{-6x^2+6x-8}{(1-2x)^2}$