与えられた6つの関数をそれぞれ微分せよ。 (1) $y = (x+3)^4$ (2) $y = (-2x+5)^6$ (3) $y = (3x-2)^3$ (4) $y = \frac{-2}{(3x+1)^4}$ (5) $y = \frac{6}{(4-5x)^3}$ (6) $y = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x-1)^2}$

はい、承知いたしました。画像にある6つの関数について、微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分せよ。

(1) $y = (x+3)^4$

(2) $y = (-2x+5)^6$

(3) $y = (3x-2)^3$

(4) $y = \frac{-2}{(3x+1)^4}$

(5) $y = \frac{6}{(4-5x)^3}$

(6) $y = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x-1)^2}$

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用います。

(1) $y = (x+3)^4$

$u = x+3$ とすると、$y = u^4$。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$, $\frac{du}{dx} = 1$。

$\frac{dy}{dx} = 4(x+3)^3 \cdot 1 = 4(x+3)^3$

(2) $y = (-2x+5)^6$

$u = -2x+5$ とすると、$y = u^6$。

$\frac{dy}{du} = 6u^5$, $\frac{du}{dx} = -2$。

$\frac{dy}{dx} = 6(-2x+5)^5 \cdot (-2) = -12(-2x+5)^5$

(3) $y = (3x-2)^3$

$u = 3x-2$ とすると、$y = u^3$。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$, $\frac{du}{dx} = 3$。

$\frac{dy}{dx} = 3(3x-2)^2 \cdot 3 = 9(3x-2)^2$

(4) $y = \frac{-2}{(3x+1)^4} = -2(3x+1)^{-4}$

$u = 3x+1$ とすると、$y = -2u^{-4}$。

$\frac{dy}{du} = 8u^{-5}$, $\frac{du}{dx} = 3$。

$\frac{dy}{dx} = 8(3x+1)^{-5} \cdot 3 = \frac{24}{(3x+1)^5}$

(5) $y = \frac{6}{(4-5x)^3} = 6(4-5x)^{-3}$

$u = 4-5x$ とすると、$y = 6u^{-3}$。

$\frac{dy}{du} = -18u^{-4}$, $\frac{du}{dx} = -5$。

$\frac{dy}{dx} = -18(4-5x)^{-4} \cdot (-5) = \frac{90}{(4-5x)^4}$

(6) $y = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}x-1)^2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}x-1)^{-2}$

$u = \sqrt{2}x-1$ とすると、$y = \sqrt{2}u^{-2}$。

$\frac{dy}{du} = -2\sqrt{2}u^{-3}$, $\frac{du}{dx} = \sqrt{2}$。

$\frac{dy}{dx} = -2\sqrt{2}(\sqrt{2}x-1)^{-3} \cdot \sqrt{2} = \frac{-4}{(\sqrt{2}x-1)^3}$

3. 最終的な答え

(1) $4(x+3)^3$

(2) $-12(-2x+5)^5$

(3) $9(3x-2)^2$

(4) $\frac{24}{(3x+1)^5}$

(5) $\frac{90}{(4-5x)^4}$

(6) $\frac{-4}{(\sqrt{2}x-1)^3}$