与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{2}{x+1}$ (2) $y = \frac{x}{x-1}$ (3) $y = \frac{7x}{x^2+x+1}$ (4) $y = \frac{3x^2-4}{1-2x}$

はい、承知いたしました。画像にある4つの関数を微分します。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{2}{x+1}$

(2) $y = \frac{x}{x-1}$

(3) $y = \frac{7x}{x^2+x+1}$

(4) $y = \frac{3x^2-4}{1-2x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{x+1}$ の微分

この関数は、商の微分法を使うこともできますが、$y = 2(x+1)^{-1}$ と変形して合成関数の微分法を使う方が簡単です。

$y' = 2 \cdot (-1) \cdot (x+1)^{-2} \cdot 1 = -2(x+1)^{-2}$

$y' = \frac{-2}{(x+1)^2}$

(2) $y = \frac{x}{x-1}$ の微分

これは商の微分法を使います。商の微分法の公式は $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = x$ なので $u' = 1$

$v = x-1$ なので $v' = 1$

よって、

$y' = \frac{1 \cdot (x-1) - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}$

$y' = \frac{-1}{(x-1)^2}$

(3) $y = \frac{7x}{x^2+x+1}$ の微分

これも商の微分法を使います。

$u = 7x$ なので $u' = 7$

$v = x^2+x+1$ なので $v' = 2x+1$

よって、

$y' = \frac{7 \cdot (x^2+x+1) - 7x \cdot (2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{7x^2+7x+7 - 14x^2-7x}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-7x^2+7}{(x^2+x+1)^2}$

$y' = \frac{-7x^2+7}{(x^2+x+1)^2}$

(4) $y = \frac{3x^2-4}{1-2x}$ の微分

これも商の微分法を使います。

$u = 3x^2-4$ なので $u' = 6x$

$v = 1-2x$ なので $v' = -2$

よって、

$y' = \frac{6x \cdot (1-2x) - (3x^2-4) \cdot (-2)}{(1-2x)^2} = \frac{6x-12x^2 + 6x^2 - 8}{(1-2x)^2} = \frac{-6x^2+6x-8}{(1-2x)^2}$

$y' = \frac{-6x^2+6x-8}{(1-2x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-2}{(x+1)^2}$

(2) $y' = \frac{-1}{(x-1)^2}$

(3) $y' = \frac{-7x^2+7}{(x^2+x+1)^2}$

(4) $y' = \frac{-6x^2+6x-8}{(1-2x)^2}$