複素数平面上で、$z_0 = 1+i$ が表す点を $A_0$ とし、$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。以下同様に、$z_n = \alpha z_{n-1}$ ($n=2, 3, \dots$) が表す点を $A_n$ とするとき、$\triangle OA_{n-1} A_n$ の面積 $S_n$ ($n \ge 1$) を求めよ。また、$\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

1. 問題の内容

複素数平面上で、$z_0 = 1+i$ が表す点を $A_0$ とし、$z_0$ と $\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ の積 $z_1 = \alpha z_0$ が表す点を $A_1$ とする。以下同様に、$z_n = \alpha z_{n-1}$ ($n=2, 3, \dots$) が表す点を $A_n$ とするとき、$\triangle OA_{n-1} A_n$ の面積 $S_n$ ($n \ge 1$) を求めよ。また、$\sum_{n=1}^\infty S_n$ を求めよ。ただし、$O$ は原点である。

2. 解き方の手順

まず、$z_n$ を $z_0$ と $\alpha$ を用いて表す。

$z_1 = \alpha z_0$, $z_2 = \alpha z_1 = \alpha^2 z_0$, $\dots$ より、$z_n = \alpha^n z_0$ である。

$z_0 = 1+i$ より、$|z_0| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ であり、$\arg z_0 = \frac{\pi}{4}$ である。

$\alpha = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{i}{2}$ より、$|\alpha| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{36} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{4}{12}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ であり、$\arg \alpha = \arctan(\frac{1/2}{\sqrt{3}/6}) = \arctan(\frac{3}{\sqrt{3}}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ である。

$z_n = \alpha^n z_0$ より、$|z_n| = |\alpha^n| |z_0| = |\alpha|^n |z_0| = (\frac{1}{\sqrt{3}})^n \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^n}$ である。

また、$\arg z_n = \arg (\alpha^n z_0) = \arg (\alpha^n) + \arg (z_0) = n \arg \alpha + \arg z_0 = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ である。

$A_n$ は $z_n$ が表す点なので、$\triangle O A_{n-1} A_n$ の面積 $S_n$ は、

$S_n = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin (\arg z_n - \arg z_{n-1}) = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin (\frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{4} - (\frac{(n-1)\pi}{3} + \frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \sin (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} |z_{n-1}| |z_n| \frac{\sqrt{3}}{2}$

$|z_{n-1}| = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{n-1}}$, $|z_n| = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^n}$ なので、

$S_n = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{n-1}} \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^n} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \frac{2}{(\sqrt{3})^{2n-1}} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{(\sqrt{3})^{2n-1}} = \frac{\sqrt{3}}{2 (3^{n-1/2})} = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{2} \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{1}{2 \cdot 3^{n-1}}$

$\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{3}{4}$