与えられた関数それぞれの導関数を求めよ。 (1) $\sqrt{(x^2+3)^3}$ (2) $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ (3) $\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた関数それぞれの導関数を求めよ。

(1) $\sqrt{(x^2+3)^3}$

(2) $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

(3) $\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{(x^2+3)^3} = (x^2+3)^{\frac{3}{2}}$

この関数の導関数を求めるには、連鎖律（chain rule）を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}(x^2+3)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2+3)$

$\frac{d}{dx}(x^2+3) = 2x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}(x^2+3)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x = 3x\sqrt{x^2+3}$

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

この関数の導関数を求めるには、連鎖律を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot \frac{d}{dx}(1-x^2) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$x>0$ のとき $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$, $x<0$ のとき $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx} (\tan^{-1} \frac{1}{x}) = \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2+1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1} = 0$

$x>0$のとき $y = \frac{\pi}{2}$

$x<0$のとき $y = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3x\sqrt{x^2+3}$

(2) $x>0$ のとき $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$, $x<0$ のとき $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $0$