次の関数の導関数を求めよ。 (1) $(x + \sqrt{x^2 + 3})^3$ (2) $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$ (3) $\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めよ。

(1) $(x + \sqrt{x^2 + 3})^3$

(2) $\sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

(3) $\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = (x + \sqrt{x^2 + 3})^3$

と置く。

合成関数の微分を用いる。

$y' = 3(x + \sqrt{x^2 + 3})^2(1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+3}} \cdot 2x)$

$y' = 3(x + \sqrt{x^2 + 3})^2(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+3}})$

$y' = 3(x + \sqrt{x^2 + 3})^2(\frac{\sqrt{x^2+3} + x}{\sqrt{x^2+3}})$

$y' = 3(x + \sqrt{x^2 + 3})^3 \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$

(2)

$y = \sin^{-1}\sqrt{1-x^2}$

と置く。

合成関数の微分を用いる。

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-x^2})^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x)$

$y' = \frac{1}{\sqrt{x^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x)$

$y' = \frac{1}{|x|}\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

$y' = -\frac{x}{|x|\sqrt{1-x^2}}$

$x>0$ のとき、$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$x<0$ のとき、$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3)

$y = \tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}$

と置く。

$y' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2}\cdot (-\frac{1}{x^2})$

$y' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{x^2}{x^2+1}\cdot (-\frac{1}{x^2})$

$y' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2+1}$

$y' = 0$

したがって、$y$ は定数である。

$x>0$ のとき、$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$

$x<0$ のとき、$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3(x+\sqrt{x^2+3})^3}{\sqrt{x^2+3}}$

(2)

$x>0$ のとき、$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$x<0$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3)

$x>0$ のとき、$\frac{\pi}{2}$

$x<0$ のとき、$-\frac{\pi}{2}$