曲線 $y = \log(x-1)$、直線 $x = e+1$、および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

## 問題 268 (3)

1. 問題の内容

曲線 $y = \log(x-1)$、直線 $x = e+1$、および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = \log(x-1)$ と $x$ 軸との交点を求めます。$y = 0$ とおくと、

$\log(x-1) = 0$

$x-1 = e^0 = 1$

$x = 2$

したがって、積分区間は $2 \le x \le e+1$ です。

面積 $S$ は定積分で計算できます。

$S = \int_{2}^{e+1} |\log(x-1)| dx$

$2 \le x \le e+1$ で $\log(x-1)$ は正なので絶対値を外せます。

$S = \int_{2}^{e+1} \log(x-1) dx$

ここで、$t = x-1$ と置換します。$dx = dt$ であり、積分区間は $1 \le t \le e$ となります。

$S = \int_{1}^{e} \log(t) dt$

$\int \log(t) dt$ を部分積分で求めます。$u = \log t, dv = dt$ とすると、$du = \frac{1}{t} dt, v = t$ となります。

$\int \log(t) dt = t \log t - \int t \cdot \frac{1}{t} dt = t \log t - \int 1 dt = t \log t - t + C$

したがって、

$S = [t \log t - t]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$

3. 最終的な答え

$S = 1$