与えられた関数について、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求めます。 (1) $x^3 e^{3x}$ (2) $x^2 \cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた関数について、ライプニッツの公式を用いて第 $n$ 次導関数を求めます。

(1) $x^3 e^{3x}$

(2) $x^2 \cos 2x$

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数を求めるために使用されます。ライプニッツの公式は以下の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数であり、$u^{(n-k)}$ は $u$ の $n-k$ 次導関数、$v^{(k)}$ は $v$ の $k$ 次導関数を表します。

(1) $y = x^3 e^{3x}$ の場合:

$u = x^3$ と $v = e^{3x}$ とします。

$u' = 3x^2$, $u'' = 6x$, $u''' = 6$, $u^{(4)} = 0$。以降の導関数も0です。

$v' = 3e^{3x}$, $v'' = 9e^{3x}$, $v''' = 27e^{3x}$, ..., $v^{(k)} = 3^k e^{3x}$。

ライプニッツの公式を適用すると:

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^3)^{(n-k)} (e^{3x})^{(k)}$

$k=0, 1, 2, 3$ の項のみがゼロでないので、

$y^{(n)} = {}_n C_0 (x^3)^{(n)} (e^{3x})^{(0)} + {}_n C_1 (x^3)^{(n-1)} (e^{3x})^{(1)} + {}_n C_2 (x^3)^{(n-2)} (e^{3x})^{(2)} + {}_n C_3 (x^3)^{(n-3)} (e^{3x})^{(3)}$

ここで、$n \ge 3$ の場合を考えます。$n=0,1,2$の場合は別途計算が必要です。

$y^{(n)} = {}_n C_0 \cdot 0 \cdot e^{3x} + {}_n C_1 \cdot 0 \cdot 3e^{3x} + {}_n C_2 \cdot 0 \cdot 9e^{3x} + {}_n C_3 \cdot 0 \cdot 27e^{3x}$

$n>3$ の場合は、$n-k <= 3$となる$k$の値についてのみ計算します。

よって、

$y^{(n)} = {}_n C_0 x^3 3^n e^{3x} + {}_n C_1 3x^2 3^{n-1} e^{3x} + {}_n C_2 6x 3^{n-2} e^{3x} + {}_n C_3 6 3^{n-3} e^{3x}$

$y^{(n)} = e^{3x} [3^n x^3 + n 3^{n-1} 3x^2 + \frac{n(n-1)}{2} 6x 3^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} 6 3^{n-3}]$

$y^{(n)} = 3^{n-3} e^{3x} [27 x^3 + 9nx^2 + 3n(n-1)x + n(n-1)(n-2)]$

(2) $y = x^2 \cos 2x$ の場合:

$u = x^2$ と $v = \cos 2x$ とします。

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u''' = 0$。以降の導関数も0です。

$v' = -2\sin 2x$, $v'' = -4\cos 2x$, $v''' = 8\sin 2x$, $v^{(4)} = 16\cos 2x$。

$v^{(k)} = 2^k \cos(2x + \frac{k\pi}{2})$

ライプニッツの公式を適用すると:

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (x^2)^{(n-k)} (\cos 2x)^{(k)}$

$k=0, 1, 2$ の項のみがゼロでないので、

$y^{(n)} = {}_n C_0 x^2 (\cos 2x)^{(n)} + {}_n C_1 2x (\cos 2x)^{(n-1)} + {}_n C_2 2 (\cos 2x)^{(n-2)}$

$y^{(n)} = {}_n C_0 x^2 2^n \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + {}_n C_1 2x 2^{n-1} \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + {}_n C_2 2 2^{n-2} \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = 3^{n-3} e^{3x} [27 x^3 + 9nx^2 + 3n(n-1)x + n(n-1)(n-2)]$

(2) $y^{(n)} = 2^{n-2} [4x^2 \cos(2x + \frac{n\pi}{2}) + 4nx \cos(2x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \cos(2x + \frac{(n-2)\pi}{2})]$