関数 $f(x) = (1+x)\log(1+x)$ の第$n$次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (1+x)\log(1+x)$ の第$n$次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、1階、2階、3階の導関数を計算して、規則性を見つけることを試みます。

$f(x) = (1+x)\log(1+x)$

1階導関数：

$f'(x) = \log(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} = \log(1+x) + 1$

2階導関数：

$f''(x) = \frac{1}{1+x}$

3階導関数：

$f'''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

4階導関数：

$f^{(4)}(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$ for $n \geq 2$.

これを数学的帰納法で証明する。

$n=2$のとき、$f''(x)=\frac{1}{1+x}$であり、これは$(-1)^{2-2}\frac{(2-2)!}{(1+x)^{2-1}} = \frac{1}{1+x}$と一致する。

$n=k$のとき、$f^{(k)}(x) = (-1)^{k-2} \frac{(k-2)!}{(1+x)^{k-1}}$が成り立つと仮定する。

$n=k+1$のとき、$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left( (-1)^{k-2} \frac{(k-2)!}{(1+x)^{k-1}} \right)$

$= (-1)^{k-2} (k-2)! \frac{d}{dx} (1+x)^{-(k-1)}$

$= (-1)^{k-2} (k-2)! \cdot (-(k-1)) (1+x)^{-(k-1)-1}$

$= (-1)^{k-1} (k-1)! (1+x)^{-k}$

$= (-1)^{(k+1)-2} \frac{((k+1)-2)!}{(1+x)^{(k+1)-1}}$

したがって、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-2} \frac{(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$は$n \geq 2$で成り立つ。

1階導関数は$f'(x) = \log(1+x) + 1$であった。

3. 最終的な答え

$n=1$のとき、$f'(x) = \log(1+x) + 1$

$n \geq 2$のとき、$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-2}(n-2)!}{(1+x)^{n-1}}$