次の値を求めよ。 $\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}(1)$

1. 問題の内容

次の値を求めよ。

$\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}(1)$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの逆三角関数の値を求めます。

$\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ は、$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めることを意味します。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$-\frac{\pi}{3}$ です。（逆正弦の定義域は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。）

よって、$\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$ です。

次に、$\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ は、$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めることを意味します。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\frac{\pi}{3}$ です。（逆余弦の定義域は $0 \leq \theta \leq \pi$ です。）

よって、$\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$ です。

最後に、$\tan^{-1}(1)$ は、$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ を求めることを意味します。

$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ は、$\frac{\pi}{4}$ です。（逆正接の定義域は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。）

よって、$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ です。

したがって、

$\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}(1) = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$