与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}$$

2. 解き方の手順

この極限は、関数 $f(x) = \cos x$ の微分を定義どおりに表したものです。すなわち、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ です。

したがって、$\cos x$ を微分すればよいことになります。

あるいは、三角関数の加法定理を用いることもできます。

$\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$ であるから、

$$\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} = \lim_{h \to 0} \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \sin x \frac{\sin h}{h}$$

ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ および $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ を利用します。

すると、

$$\lim_{h \to 0} \cos x \frac{\cos h - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \sin x \frac{\sin h}{h} = \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 = -\sin x$$

3. 最終的な答え

$-\sin x$