与えられた3つの極限値を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x - a}$ (2) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x}$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限値を計算する問題です。

(1) $\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x - a}$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x}$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x - a}$ は、$f(x) = e^x$ の $x = a$ における微分係数の定義そのものです。

したがって、

$\lim_{x \to a} \frac{e^x - e^a}{x - a} = f'(a) = e^a$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x}$ において、$x = 1 + h$ と置くと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x} = \lim_{h \to 0} \frac{\log (1 + h)}{-h} = - \lim_{h \to 0} \frac{\log (1 + h)}{h}$

$\lim_{h \to 0} \frac{\log (1 + h)}{h} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1 - x} = -1$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1}$ において、$x = 1 + h$ と置くと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - \sqrt[3]{1+h}}{h}$

ここで、$f(x) = x^{1/2}$, $g(x) = x^{1/3}$ とおくと、$f(1) = 1$, $g(1) = 1$ なので、

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - \sqrt[3]{1+h}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1+h} - 1) - (\sqrt[3]{1+h} - 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+h} - 1}{h} = f'(1) - g'(1)$

$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$ なので、$f'(1) = \frac{1}{2}$

$g'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}$ なので、$g'(1) = \frac{1}{3}$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{x - 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $e^a$

(2) $-1$

(3) $\frac{1}{6}$