与えられた3つの関数をマクローリン展開し、0でない最初の4項を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{2x+3}$ (2) $g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+2x}}$ (3) $h(x) = \log(2x+3)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をマクローリン展開し、0でない最初の4項を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{2x+3}$

(2) $g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+2x}}$

(3) $h(x) = \log(2x+3)$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

一般的に、マクローリン展開は次の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

それぞれの関数について、必要な階数の導関数を求め、x=0 を代入して、マクローリン展開の最初の4項を計算します。

(1) $f(x) = \frac{1}{2x+3}$

$f(0) = \frac{1}{3}$

$f'(x) = -\frac{2}{(2x+3)^2}$

$f'(0) = -\frac{2}{9}$

$f''(x) = \frac{8}{(2x+3)^3}$

$f''(0) = \frac{8}{27}$

$f'''(x) = -\frac{48}{(2x+3)^4}$

$f'''(0) = -\frac{48}{81} = -\frac{16}{27}$

したがって、

$f(x) = \frac{1}{3} - \frac{2}{9}x + \frac{8}{27} \frac{x^2}{2} - \frac{16}{27} \frac{x^3}{6} + \cdots$

$f(x) = \frac{1}{3} - \frac{2}{9}x + \frac{4}{27}x^2 - \frac{8}{81}x^3 + \cdots$

(2) $g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+2x}} = (1+2x)^{-\frac{1}{2}}$

$g(0) = 1$

$g'(x) = -\frac{1}{2}(1+2x)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(1+2x)^{-\frac{3}{2}}$

$g'(0) = -1$

$g''(x) = \frac{3}{2}(1+2x)^{-\frac{5}{2}} \cdot 2 = 3(1+2x)^{-\frac{5}{2}}$

$g''(0) = 3$

$g'''(x) = -\frac{15}{2}(1+2x)^{-\frac{7}{2}} \cdot 2 = -15(1+2x)^{-\frac{7}{2}}$

$g'''(0) = -15$

したがって、

$g(x) = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 - \frac{15}{6}x^3 + \cdots$

$g(x) = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}x^3 + \cdots$

(3) $h(x) = \log(2x+3)$

$h(0) = \log(3)$

$h'(x) = \frac{2}{2x+3}$

$h'(0) = \frac{2}{3}$

$h''(x) = -\frac{4}{(2x+3)^2}$

$h''(0) = -\frac{4}{9}$

$h'''(x) = \frac{16}{(2x+3)^3}$

$h'''(0) = \frac{16}{27}$

したがって、

$h(x) = \log(3) + \frac{2}{3}x - \frac{4}{9} \frac{x^2}{2} + \frac{16}{27} \frac{x^3}{6} + \cdots$

$h(x) = \log(3) + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}x^2 + \frac{8}{81}x^3 + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2x+3} = \frac{1}{3} - \frac{2}{9}x + \frac{4}{27}x^2 - \frac{8}{81}x^3 + \cdots$

(2) $\frac{1}{\sqrt{1+2x}} = 1 - x + \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}x^3 + \cdots$

(3) $\log(2x+3) = \log(3) + \frac{2}{3}x - \frac{2}{9}x^2 + \frac{8}{81}x^3 + \cdots$