与えられた関数について、指定された点における3次までのテイラー展開を求めます。 (1) $f(x) = \frac{3}{2x-1}$ を $x=2$ で展開 (2) $f(x) = \log(2x+1)$ を $x=1$ で展開 (3) $f(x) = xe^x$ を $x=-2$ で展開

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点における3次までのテイラー展開を求めます。

(1) $f(x) = \frac{3}{2x-1}$ を $x=2$ で展開

(2) $f(x) = \log(2x+1)$ を $x=1$ で展開

(3) $f(x) = xe^x$ を $x=-2$ で展開

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{3}{2x-1}$ を $x=2$ で展開

まず、$x=2$ における関数の値とその導関数を求めます。

$f(2) = \frac{3}{2(2)-1} = \frac{3}{3} = 1$

$f'(x) = 3(-1)(2x-1)^{-2}(2) = -6(2x-1)^{-2} = -\frac{6}{(2x-1)^2}$

$f'(2) = -\frac{6}{(2(2)-1)^2} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$

$f''(x) = -6(-2)(2x-1)^{-3}(2) = 24(2x-1)^{-3} = \frac{24}{(2x-1)^3}$

$f''(2) = \frac{24}{(2(2)-1)^3} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}$

$f'''(x) = 24(-3)(2x-1)^{-4}(2) = -144(2x-1)^{-4} = -\frac{144}{(2x-1)^4}$

$f'''(2) = -\frac{144}{(2(2)-1)^4} = -\frac{144}{81} = -\frac{16}{9}$

テイラー展開は以下のようになります。

$f(x) = f(2) + f'(2)(x-2) + \frac{f''(2)}{2!}(x-2)^2 + \frac{f'''(2)}{3!}(x-2)^3 + \cdots$

$f(x) \approx 1 - \frac{2}{3}(x-2) + \frac{8/9}{2}(x-2)^2 + \frac{-16/9}{6}(x-2)^3$

$f(x) \approx 1 - \frac{2}{3}(x-2) + \frac{4}{9}(x-2)^2 - \frac{8}{27}(x-2)^3$

(2) $f(x) = \log(2x+1)$ を $x=1$ で展開

まず、$x=1$ における関数の値とその導関数を求めます。

$f(1) = \log(2(1)+1) = \log(3)$

$f'(x) = \frac{2}{2x+1}$

$f'(1) = \frac{2}{2(1)+1} = \frac{2}{3}$

$f''(x) = 2(-1)(2x+1)^{-2}(2) = -\frac{4}{(2x+1)^2}$

$f''(1) = -\frac{4}{(2(1)+1)^2} = -\frac{4}{9}$

$f'''(x) = -4(-2)(2x+1)^{-3}(2) = \frac{16}{(2x+1)^3}$

$f'''(1) = \frac{16}{(2(1)+1)^3} = \frac{16}{27}$

テイラー展開は以下のようになります。

$f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + \cdots$

$f(x) \approx \log(3) + \frac{2}{3}(x-1) + \frac{-4/9}{2}(x-1)^2 + \frac{16/27}{6}(x-1)^3$

$f(x) \approx \log(3) + \frac{2}{3}(x-1) - \frac{2}{9}(x-1)^2 + \frac{8}{81}(x-1)^3$

(3) $f(x) = xe^x$ を $x=-2$ で展開

まず、$x=-2$ における関数の値とその導関数を求めます。

$f(-2) = -2e^{-2}$

$f'(x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$f'(-2) = (-2+1)e^{-2} = -e^{-2}$

$f''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$f''(-2) = (-2+2)e^{-2} = 0$

$f'''(x) = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

$f'''(-2) = (-2+3)e^{-2} = e^{-2}$

テイラー展開は以下のようになります。

$f(x) = f(-2) + f'(-2)(x+2) + \frac{f''(-2)}{2!}(x+2)^2 + \frac{f'''(-2)}{3!}(x+2)^3 + \cdots$

$f(x) \approx -2e^{-2} - e^{-2}(x+2) + \frac{0}{2}(x+2)^2 + \frac{e^{-2}}{6}(x+2)^3$

$f(x) \approx -2e^{-2} - e^{-2}(x+2) + \frac{1}{6}e^{-2}(x+2)^3$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2x-1} \approx 1 - \frac{2}{3}(x-2) + \frac{4}{9}(x-2)^2 - \frac{8}{27}(x-2)^3$

(2) $\log(2x+1) \approx \log(3) + \frac{2}{3}(x-1) - \frac{2}{9}(x-1)^2 + \frac{8}{81}(x-1)^3$

(3) $xe^x \approx -2e^{-2} - e^{-2}(x+2) + \frac{1}{6}e^{-2}(x+2)^3$